Abelsche partielle Summation

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In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation (nach N. H. Abel) eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien eine natürliche Zahl und reelle Zahlen. Dann gilt

mit

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

Abelsche Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

und sind die Zahlen beliebig reell (oder komplex), so gilt

(Zur Notation „max“ siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe

die für eine bestimmte positive reelle Zahl konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl konvergent ist und auf eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung

und da eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch

nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes beliebig klein.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

,
J. Reine Angew. Math. 1 (1829) 311–331
Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abelsche Ungleichung