Abelscher Grenzwertsatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Abelsche Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Analysis. Er beschreibt, unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt und lautet wie folgt:

Sei eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe auf dem Intervall und die durch sie definierte Funktion ist stetig auf mit .

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall die folgende Darstellung als Potenzreihe:

.

Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Da , liefert der abelsche Grenzwertsatz die Identität

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S. 205.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 6. Auflage. Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 367.
  • Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg-Verlag, (1988).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]