Abgeschlossene Hülle

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In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss einer Teilmenge der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von , die beinhalten. Die Menge ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von .

Ein Punkt heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von , wenn in jeder Umgebung von mindestens ein Element von enthalten ist. besteht genau aus den Berührpunkten von .

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn ein metrischer Raum ist), so ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in liegen.

Ist ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein metrischer Raum mit Metrik . Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle einer offenen Kugel

mit Radius und Mittelpunkt nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

definiert ist. Dann gilt für jedes :

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in dem für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

Ein Beispiel ist die Menge mit der vom euklidischen Raum induzierten Metrik. Hier erfüllt die angegebene Inklusionsbedingung:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.