Absolute Konvergenz

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Die absolute Konvergenz ist ein Begriff aus der Analysis und wird im Zusammenhang mit Reihen benutzt. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im Allgemeinen falsch sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert.
  • Diese Definition wird auch auf normierte Räume verallgemeinert: Eine Reihe in einem normierten Raum heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Normen konvergiert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Konvergente Reihen, deren Summanden fast alle nicht negativ sind, sind absolut konvergent.
  • Die Reihe
ist wegen
absolut konvergent.
ist für jedes komplexe absolut konvergent.
ist konvergent gegen . Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn beim Nachprüfen der definierenden Eigenschaft erhält man
,
also die gewöhnliche harmonische Reihe. Diese ist bestimmt divergent gegen .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Das gilt sowohl für reellwertige als auch für komplexwertige Reihen. Da es umgekehrt Reihen gibt, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind (solche Reihen werden bedingt konvergent genannt), bildet die Menge der absolut konvergenten Reihen eine echte Teilmenge der Menge der konvergenten Reihen.

Manche Konvergenzkriterien für Reihen beweisen auch die absolute Konvergenz. Dazu gehören das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.

Umordnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Umordnung von Reihen

Eine wesentliche Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist, dass man wie bei endlichen Summen die Summanden beliebig vertauschen kann: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe , d.h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie . Dies ist genau umgekehrt zu konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen : Dort existiert stets eine Umordnung von , die divergiert.

Ist die Reihe reellwertig, so gilt die folgende, noch schärfere Aussage (Riemannscher Umordnungssatz): Zu jeder vorgegebenen Zahl existiert eine Umordnung der Reihe , die gegen (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall . Man ordnet die Summanden in zwei Folgen

an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus , bis überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus , bis wieder unterschritten wird, dann wieder aus usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil und divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf normierte Räume verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge von Elementen eines normierten Raumes . Die entsprechende Reihe wird durch

definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn konvergiert.

Ist ein Banachraum, also vollständig, so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Tatsächlich gilt hiervon auch die Umkehrung: Ist ein normierter Vektorraum und jede absolut konvergente Reihe konvergent, so ist vollständig, also ein Banachraum.

In beliebigen vollständigen metrischen Räumen gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

konvergiert. Da in obigem Beispiel ja , ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis. Dover, New York 1970. ISBN 0-486-64062-0.
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.