Absorbierendes Element

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Ein absorbierendes Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung . Ein Element heißt linksabsorbierend (bezüglich ), wenn für alle gilt:

.

Analog heißt ein Element rechtsabsorbierend (bezüglich ), wenn für alle gilt:

.

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich ), nennt man absorbierend (bezüglich ), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer (additiv notierten) Gruppe genannt!).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einer zweistelligen Verknüpfung auf einer Menge gibt es höchstens ein absorbierendes Element , denn für absorbierende Elemente gilt:

.

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element ist immer idempotent:

.

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe) mit mindestens zwei Elementen mit gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element , denn sonst hätte bzw. mindestens die zwei Lösungen , wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die im Ring der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

In jedem beschränkten Verband gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der Aussagenlogik die wahre Aussage bezüglich der Verknüpfung mit „oder“ absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der Verknüpfung mit „und“ absorbierendes Element.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • U. Hebisch; H. J. Weinert: Halbringe - Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.