Achteck

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Bild 1
Regelmäßiges (konvexes) Achteck

Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon, von lat. octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit acht Ecken und acht Seiten. Achtecke lassen sich, wie alle Polygone, die keine Dreiecke sind, in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke einteilen. In Variationen wird dies näher beschrieben und im Anschluss daran das regelmäßige Achteck ausführlich dargestellt.

Variationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 3
Oben: konkaves Achteck
Unten: überschlagenes Achteck
Bild 2
Unregelmäßiges Achteck

Das Achteck ist darstellbar als:

  • konvexes Achteck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Achteck kann regelmäßig (Bild 1) oder unregelmäßig (Bild 2) sein.
  • Das regelmäßige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • konkaves Achteck (Bild 3), in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
  • überschlagenes Achteck (Bild 3): Ein überschlagenes Achteck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
Bild 5
Sehnenachteck
Bild 4
Regelmäßiges überschlagenes Achteck
Stern
  • Das regelmäßige überschlagene Achteck (Bild 4) ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch Achterstern oder Oktogramm genannt.
Die „Sterne“ mit den Symbolen {8/2} und {8/6} sind Quadrate. Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs- und Diagonallinien übereinander und dreht sie anschließend relativ zueinander um 45°, siehe die weißen Dreiecke im Stern, ergibt sich ein Achtort.
  • Sehnenachteck (Bild 5), in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.

Regelmäßiges Achteck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Achteck
Zentriwinkel regelmäßiges Achteck mit dessen Größen
Innenwinkel
Inkreisradius
Umkreisradius
Radiusverhältnis
Länge der Diagonalen
Flächeninhalt

Flächenberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der von deren Schenkeln eingeschlossene Winkel beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden Basiswinkel des Dreieckes betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

  • ist die Seitenlänge des Achtecks.
  • ist die halbe Seitenlänge des Achtecks.
  • ist der Radius des Inkreises.
  • ist der Radius des Umkreises.
  • ist der Flächeninhalt des Achtecks.
  • ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

Gegeben sei der Radius des Inkreises:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22,5° ermitteln:

Den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

Gegeben sei die Seitenlänge des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22,5° ermitteln, sei die Hälfte von :

Die Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Setzt man in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

Gegeben sei der Radius des Umkreises:
Das Verhältnis zu entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

Der Radius des Inkreises beträgt

Die Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Setzt man in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis
Achteck, konstruiert aus einem Quadrat, Umkreisdurchmesser durch Diagonale vorgegeben

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis, mit den Ecken des Quadrats verbindet.

Eine Alternative zeigt die nebenstehende Animation.

Bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebener Seitenlänge, siehe Animation.

Die Konstruktion ist nahezu gleich der des regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge mit und bezeichnet. Beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt , dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte und . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab durch und dem Zeichnen einer Parallelen zu ab dem Punkt , die den Kreisbogen um in schneidet. Nun wird der Punkt mit verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt . Anschließend wird die Halbgerade ab durch gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab in . Somit ist der Mittelpunkt des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab durch führt zum Zentriwinkel . Nach dem Einzeichnen des Umkreises um und durch ergeben sich die Ecken und des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken und , und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel mit der Winkelweite ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken

Parkettierungen mit regelmäßigen Achtecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine bestimmte archimedische Parkettierung enthält regelmäßige Achtecke und Quadrate. Diese Parkettierung ist periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthält ausschließlich regelmäßige Polygone.

Polyeder mit regelmäßigen Achtecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige Polyeder haben regelmäßige Achtecke als Seitenflächen, zum Beispiel der Hexaederstumpf und das Große Rhombenkuboktaeder. Die genannten Polyeder sind archimedische Körper.

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Achteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Achteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen