Achteck

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regelmäßiges Achteck
Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks

Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon, von lat. octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist ein Polygon mit acht Ecken und acht Seiten. Sie lassen sich, wie alle Polygone, die keine Dreiecke sind, in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke einteilen. Zu den konvexen Achtecken gehört auch das regelmäßige Achteck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Dieses wird im Folgenden näher dargestellt.

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat auf alle Seiten Mittelsenkrechten konstruiert und die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Umkreis mit den Ecken verbindet.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge a 
Inkreisradius
Umkreisradius



Große Diagonale
Mittlere Diagonale
Kleine Diagonale
Zentriwinkel
Innenwinkel
Flächeninhalt



Flächenberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der einmalige Winkel im Dreieck beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden gleichen Winkel des Dreieckes betragen 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

  • a ist die Seitenlänge des Achtecks
  • a' ist die halbe Seitenlänge des Achtecks
  • ri ist der Radius des Inkreises
  • ru ist der Radius des Umkreises
  • A ist die Fläche des Achtecks
  • A' ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Gegeben sei der Radius des Innenkreises ri:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22.5° ermitteln:

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

Formel 1:

Gegeben sei die Seitenlänge a des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius ri des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22.5° ermitteln, a' sei die Hälfte von a:

Formel 2:

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man


Gegeben sei der Radius ru des Umkreises:
Das Verhältnis a' zu R entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

Der Radius des Inkreises beträgt (siehe Formel 2)

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

Allgemeine Formeln für regelmäßige n-Ecke
Aus den obigen Ansätzen lassen sich folgende Formeln für n-Ecke herleiten:

Bei gegebenem Radius des Inkreises gilt:

Bei gegebener Seitenlänge a des n-Ecks gilt:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Achteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Achteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen