Achteck

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Regelmäßiges Achteck oben: konkaves Achteckunten: überschlagenes Achteck
Regelmäßiges Achteck
oben: konkaves Achteck
unten: überschlagenes Achteck

Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon, von lat. octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist ein Polygon mit acht Ecken und acht Seiten. Sie lassen sich, wie alle Polygone, die keine Dreiecke sind, in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke einteilen. Zu den konvexen Achtecken gehört auch das regelmäßige Achteck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Dieses wird im Folgenden näher dargestellt.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

regelmäßiges Achteck mit dessen Größen
Größen eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge a 
Inkreisradius
Umkreisradius



Große Diagonale
Mittlere Diagonale
Kleine Diagonale
Zentriwinkel
Innenwinkel
Flächeninhalt



Flächenberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der einmalige Winkel im Dreieck beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden gleichen Winkel des Dreieckes betragen 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

  • a ist die Seitenlänge des Achtecks
  • a' ist die halbe Seitenlänge des Achtecks
  • ri ist der Radius des Inkreises
  • ru ist der Radius des Umkreises
  • A ist die Fläche des Achtecks
  • A' ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Gegeben sei der Radius des Inkreises ri:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22,5° ermitteln:

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

Formel 1:

Gegeben sei die Seitenlänge a des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius ri des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22,5° ermitteln, a' sei die Hälfte von a:

Formel 2:

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

Gegeben sei der Radius ru des Umkreises:
Das Verhältnis a' zu R entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

Der Radius des Inkreises beträgt (siehe Formel 2)

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

Allgemeine Formeln für regelmäßige n-Ecke
Die obigen Ansätze ergeben sich aus den folgenden Formeln für n-Ecke:

Bei gegebenem Radius des Inkreises gilt:

Bei gegebener Seitenlänge a des n-Ecks gilt:

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis mit den Ecken des Quadrats verbindet.

Achteck, konstruiert aus einem Quadrat, Umkreisdurchmesser durch Diagonale vorgegeben

Eine Alternative zeigt die folgende Animation.

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis

Bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebener Seitenlänge, Animation siehe

Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge mit und bezeichnet; beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt , dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte und . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab durch und dem Zeichnen einer Parallelen zu ab dem Punkt , die den Kreisbogen um in schneidet. Nun wird der Punkt mit verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt . Anschließend wird die Halbgerade ab durch gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab in . Somit ist der Mittelpunkt des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab durch führt zum Zentriwinkel . Nach dem Einzeichnen des Umkreises um und durch ergeben sich die Ecken und des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken und , und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Achteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Achteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen