Adelering

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Der Adelering wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert. Er steht im Zusammenhang mit der Klassenkörpertheorie. Er ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes. Der Adelering ist ein selbstdualer, topologischer Ring, welcher auf Grundlage eines globalen Körpers konstruiert wird. Um den Adelering zu erhalten, bildet man das restringierte Produkt aller Vervollständigungen eines globalen Körpers. Damit enthält der Adelering alle diese Vervollständigungen.

Die Idelklassengruppe, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist, stellt ein zentrales Objekt in der Klassenkörpertheorie dar.

Notation: Im Folgenden ist ein globaler Körper. Das bedeutet, dass entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet eine Stelle von Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als oder notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als notiert werden. Im Folgenden bezeichne die endliche Menge der unendlichen Stellen von Wir schreiben für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält. Sei die Vervollständigung von nach einer Stelle Bei einer diskreten Bewertung bezeichne mit den zugehörigen diskreten Bewertungsring von und mit das maximale Ideal von Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante Die Bewertung wird dem Betrag zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

Umgekehrt wird dem Betrag die Bewertung zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: für alle Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Begriffserklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley (1909–1984) unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt. Der Begriff des Adels geht zurück auf die ursprüngliche Bezeichnung „additives Idel“. Bei der Aussprache von Adel liegt die Betonung auf der 2. Silbe.

Die Idee hinter dem Adelering ist es, dass man alle Vervollständigungen des globalen Körpers auf einmal betrachtet. Auf den ersten Blick scheint die Definition über das kartesische Produkt sinnvoll, jedoch wird der Adelering mit dem restringierten Produkt definiert, wie im nächsten Abschnitt erläutert wird. Dies hat mehrere Gründe:

  • Wenn man den globalen Körper in das Produkt über die einbettet, dann gilt für jedes also für fast alle (vgl. globaler Körper). Die Terminologie „fast alle“ meint im gesamten Artikel immer „alle bis auf endlich viele“. Also ist sogar in das restringierte Produkt einbettbar.
  • Der Adelering wird dadurch zu einem lokalkompakten, topologischen Ring. Das unrestringierte Produkt hingegen ist nicht lokalkompakt. Daher ist auf dem unrestringierten Produkt keine Harmonische Analyse möglich.

Definition des Adelerings eines globalen Körpers [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der endlichen Adele eines globalen Körpers [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der endlichen Adele eines globalen Körpers geschrieben ist definiert als das restringierte Produkt der mit Restriktionsbedingung das heißt

Das bedeutet, dass die Menge der endlichen Adele alle Elemente der Form enthält, so dass für fast alle Die Addition und Multiplikation werden komponentenweise erklärt. Dadurch wird zu einem Ring. Wir installieren auf der Menge der endlichen Adele die restringierte Produkttopologie. Das ist diejenige Topologie, die von den sogenannten restringierten offenen Rechtecken erzeugt wird, welche folgende Form haben:

wobei eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von ist, welche enthält und offen sind.

Bemerkung: In der deutschen Literatur wird auch der Name eingeschränktes direktes Produkt für das restringierte Produkt verwendet. Im Folgenden wird der Begriff restringiertes Produkt verwendet. Weiterhin wird im Folgenden endlicher Adelering von als Synonym für verwendet.

Der Adelering eines globalen Körpers [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Adelering des globalen Körpers geschrieben ist definiert als das Produkt der Menge der endlichen Adele mit dem Produkt der endlich vielen Vervollständigungen nach den unendlichen Stellen. Diese sind oder und treten nur im algebraischen Zahlkörperfall auf. Damit erhalten wir also:

In Fall eines Funktionenkörpers ist die Menge der endlichen Adele gleich dem Adelering von Auf dem Adelering von wird eine Addition und Multiplikation jeweils komponentenweise erklärt. Dadurch wird zu einem Ring. Die Elemente von werden die Adele von genannt. Wir schreiben im Folgenden den Adelering als

obwohl dies kein restringiertes Produkt im eigentlichen Sinne ist. Im Folgenden wird nicht extra darauf hingewiesen, dass die unendlichen Stellen unrestringiert dem Produkt hinzugefügt werden.

Die Menge der -Adele eines globalen Körpers [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper und sei eine Teilmenge der Stellenmenge von Definiere die Menge der -Adele von als

Die unendlichen Stellen, sofern in enthalten, werden dabei ohne Restriktionsbedingung hinzugefügt. Definiere weiterhin

Es gilt dann

Der rationale Adelering [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten den Spezialfall Zuerst überlegen wir uns, wie die Stellenmenge von aussieht: Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Stellenmenge von mit identifiziert werden kann, wobei die Primzahl dabei die Äquivalenzklasse des -adischen Betrag repräsentiert und für die folgende Äquivalenzklasse von steht, wobei wie folgt definiert wird:

Als nächstes stellen wir fest, dass die Vervollständigung nach den Stellen von gerade die Körper der p-adischen Zahlen für eine Stelle bzw. der Körper für die Stelle sind. Der zugehörige Ganzzahlring zum Körper ist Damit folgt, dass der endliche Adelering der rationalen Zahlen gleich

ist. Der ganze Adelering ist damit gleich

wofür wir auch verkürzt schreiben:

mit der Konvention

Unterschied zwischen restringierter und unrestringierter Produkttopologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge von Adelen in

konvergiert in der Produkttopologie gegen das Einsadel jedoch nicht in der restringierten Produkttopologie.

Beweis: Die Konvergenz in der Produkttopologie entspricht der koordinatenweisen Konvergenz. Diese ist trivial, da die Koordinatenfolgen stationär werden. Die Folge konvergiert nicht in der restringierten Produkttopologie, da für jedes Adel und für jedes restringierte offene Rechteck gilt: für und daher für alle Es folgt, dass für fast alle Hierbei stehen und für endliche Teilmengen der Stellenmenge. Dabei ist eine endliche Ausnahmemenge des Adels

Der Adelering trägt nicht die Teilraumtopologie der Produkttopologie, da ansonsten der Adelering keine lokalkompakte Gruppe ist, vgl. hierzu den Satz, dass der Adelering ein topologischer Ring ist.

Diagonale Einbettung des globalen Körpers in seinen Adelering[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper. Es gibt eine natürliche diagonale Einbettung von in seinen Adelering

Die Einbettung ist wohldefiniert, da für jedes gilt, dass für fast alle Sie ist injektiv, denn die Einbettung von in ist bereits injektiv für jedes Es folgt, dass als Untergruppe von aufgefasst werden kann. Man kann sogar als Unterring seines Adelerings auffassen. Die Elemente aus werden die Hauptadele von genannt.

Die Idelegruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings

mit der mittels der Inklusion durch die Produkttopologie auf erzeugten Teilraumtopologie, ist die sogenannte Idelegruppe von .

Alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definiere

d. h. ist die pro-endliche Komplettierung der Ringe mit der partiellen Ordnung Die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen ist also der projektive Limes über die Ringe

Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes kann gezeigt werden, dass die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen isomorph zum Produkt der ganzen -adischen Zahlen ist. Es gilt also

Alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definiere nun den Ring (der ganzzahligen Adele)

Damit kann der Adelering über folgendermaßen dargestellt werden:

Dies ist ein algebraischer Isomorphismus. Für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper gilt nun:

wobei wir die rechte Seite mit folgender Topologie versehen. Es gilt, dass wobei die rechte Seite insgesamt Summanden hat. Wir installieren auf der rechten Seite die Produkttopologie von und transportieren diese mit Hilfe des Isomorphismus auf

Beweis: Wir beweisen zunächst die Gleichung für Es ist also zu zeigen, dass Es gilt wobei man das „Ausmultiplizieren“ beim Tensorprodukt durch eine Betrachtung mit Basen einsieht. Die zweite Isomorphie folgt dadurch, dass -lineare Abbildungen bereits -linear sind. Offensichtlich reicht es zu zeigen, dass ist. Wir rechnen hierzu die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes nach. Definiere eine -bilineare Abbildung via Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da nur endlich viele Primzahlen den Nenner von teilen. Die Abbildung ist -bilinear.

Sei nun ein weiterer -Modul mit einer -bilinearen Abbildung Zu zeigen ist, dass es genau eine -lineare Abbildung gibt, mit der Eigenschaft: Die Abbildung wird wie folgt definiert: Zu gegebenem existiert ein und ein sodass für alle gilt. Definiere dann Man mache sich klar, dass wohldefiniert ist, -linear und erfüllt. Weiterhin ist durch diese Eigenschaften bereits eindeutig festgelegt. Der allgemeine Fall kann ähnlich gezeigt werden und wird im folgenden Abschnitt noch allgemeiner bewiesen.

Der Adelering bei einer Körpererweiterung [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alternative Beschreibung des Adelerings im Fall [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper und sei eine endliche Körpererweiterung. Ist ein algebraischer Zahlkörper, dann ist die Körpererweiterung separabel. Im Funktionenkörperfall kann sie ebenfalls als separabel angenommen werden, vgl. Weil (1967), S. 48f. Damit ist wieder ein globaler Körper und ist definiert. Für eine Stelle von und eine Stelle von definiere

falls der Betrag eingeschränkt auf in der Äquivalenzklasse von liegt. Man sagt, die Stelle liegt über der Stelle Definiere nun

Beachte, dass mit die Stellen von und mit die Stellen von bezeichnet werden. Beachte weiterhin, dass beide Produkte endlich sind.

Bemerkung: Man kann in einbetten, falls über liegt. Dadurch kann man diagonal in einbetten und wird dadurch eine kommutative -Algebra vom Grad

Es gilt nun

Der Beweis beruht auf elementaren Eigenschaften restringierter Produkte.

Der Adelering von kann dabei wie folgt kanonisch in den Adelering von eingebettet werden: Dem Adel wird das Adel mit für zugeordnet. Deshalb kann als Untergruppe von aufgefasst werden. Ein Element liegt also genau dann in der Untergruppe wenn seine Komponenten für erfüllen und weiterhin für und für die gleiche Stelle von gilt.

Der Adelering als Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper und sei eine endliche Körpererweiterung. Dann gilt:

Dies ist ein algebraischer und topologischer Isomorphismus, wobei wir die Topologie des Tensorproduktes analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers konstruieren. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass Mit der Hilfe dieses Isomorphismus, ist die Inklusion durch die Funktion

Darüber hinaus können die Hauptadele von mit einer Untergruppe der Hauptadele von identifiziert werden via der Abbildung

Beweis: Sei eine -Basis von Es gilt nun, dass

für fast alle vgl. Cassels (1967), S. 61.

Wir haben einen kanonischen Isomorphismus:

wobei die kanonische Einbettung ist und wie üblich gilt. Indem wir auf beiden Seiten das restringierte Produkt mit Restriktionsbedingung bilden, folgt die Behauptung:

Dieser Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 65.

Korollar: Der Adelering von als additive Gruppe

Als additive Gruppe betrachtet gilt:

wobei die linke Seite insgesamt Summanden hat. Die Hauptadele von gehen dabei auf wobei hier als Teilmenge von aufgefasst wird. Die Summe hat dabei Summanden.

Definition des Adelerings eines -Vektorraums und einer -Algebra [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alternative Beschreibung des Adelerings eines globalen Körpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper. Sei eine endliche Stellenmenge von die umfasst. Hierbei bezeichnet die unendlichen Stellen des globalen Körpers. Definiere

Man definiert die Addition und Multiplikation komponentenweise und versieht den entstandenen Ring mit der Produkttopologie. Es entsteht ein lokalkompakter, topologischer Ring. Anders formuliert: ist die Menge aller wobei für alle also für alle gelten soll.

Bemerkung: Ist eine weitere endliche Teilmenge der Stellenmenge von mit der Eigenschaft dann ist ein offener Unterring von

Wir geben nun eine alternative Definition des Adelerings. Mengentheoretisch ist die Vereinigung über alle Mengen der Form wobei die Vereinigung alle endlichen Teilmengen von der gesamten Stellenmenge von durchläuft. Es gilt also

In anderen Worten ist nichts anderes als die Menge aller für die gilt: für fast alle Die Topologie auf wird so definiert, dass alle offene Unterringe von werden sollen. Dadurch wird ein lokalkompakter, topologischer Ring.

Sei nun eine Stelle von und sei eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche die unendlichen Stellen und enthält. Es gilt:

Definiere nun

Dann gilt:

Definiere weiterhin:

wobei alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft, welche enthält. Dann gilt offensichtlich:

via der Abbildung Dies kann mit jeder endlichen Stellenmenge anstelle von ebenso gemacht werden.

Mit Hilfe der obigen Definition von gibt es eine natürliche Einbettung und eine natürliche Projektion

Der Adelering eines -Vektorraums [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden beiden Definitionen orientieren sich an Weil (1967), S. 60ff. Sei wie bisher ein globaler Körper und sei nun ein -dimensionaler -Vektorraum, Wir fixieren eine -Basis von Für jede Stelle von schreiben wir und Definiere dann den Adelering von als

Diese Definition ist angelehnt an die alternative Beschreibung des Adelerings als Tensorprodukt. Wir konstruieren wieder die Topologie auf analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass Wir versehen dann den Adelering von mit der restringierten Produkttopologie.

Analog wie in dem Abschnitt über den Adelering bei einer Körpererweiterung erhalten wir Dann kann durch natürlich in eingebettet werden.

Im Folgenden wird eine alternative Definition der Topologie auf dem Adelering gegeben. Die Topologie auf ist gegeben als die gröbste Topologie, für welche die Linearformen auf das sind lineare Abbildungen die ausgedehnt werden zu linearen Abbildungen von nach stetig sind. Man benutzt jeweils, dass bzw. auf natürliche Art und Weise in bzw. eingebettet werden können. Mit anderen Worten: Die Wahl einer Basis von über liefert einen Isomorphismus von nach also einen Isomorphismus von nach Man kann nun mit der Produkttopologie versehen und diese mit Hilfe des Isomorphismus nach transportieren. Die Wahl der Topologie hängt nicht von der Wahl der Basis ab, denn eine weitere Basiswahl definiert einen zweiten Isomorphismus. Die Komposition der Isomorphismen ergibt einen linearen Homöomorphismus, der die eine Topologie in die andere überführt. Man kann dies wie folgt darstellen:

wobei die auftretenden Summen Summanden haben. Falls so liefert obige Definition den bereits definierten Adelering.

Der Adelering einer -Algebra [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper und sei nun eine endlichdimensionale -Algebra. Dann ist insbesondere ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Folglich ist definiert, vgl. dazu den letzten Abschnitt. Wir dehnen die Multiplikation von auf aus. Dies geht wie folgt:

Es gilt, dass Da wir eine Multiplikation auf und auf haben, können wir eine Multiplikation auf definieren, via

Alternativ, kann man eine -Basis von fixieren. Um die Multiplikation auf vollständig zu beschreiben, genügt es zu wissen, wie die Basiselemente miteinander multipliziert werden. Es existieren so dass

Mit Hilfe dieser können wir eine Multiplikation auf definieren:

Und ebenso eine Multiplikation auf und damit auf

Es folgt, dass eine -Algebra mit ist. Sei eine endliche Teilmenge von welche eine -Basis von enthält. Für jede endliche Stelle von nenne das -Modul erzeugt von in Für jede endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält, definiere

Man kann zeigen, dass es dann eine endliche Menge gibt, so dass ein offener Unterring von ist, falls Es gilt dann weiterhin, dass die Vereinigung aller dieser Unterringe ist. Man kann zeigen, dass im Falle der oben definierte Adelering kanonisch isomorph zur „ersten“ Definition des Adelerings ist.

Spur und Norm auf dem Adelering[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spur und Norm auf dem Adelering[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine endliche Körpererweiterung des globalen Körpers Dann gilt Mit der Identifikation folgt, dass als abgeschlossener Unterring von aufgefasst werden kann. Schreibe für diese Einbettung von in Explizit gilt: Sei Dann ist wobei dies für alle über gilt.

Sei ein Körperturm globaler Körper. Dann gilt

Schränken wir die Abbildung auf die Menge der Hauptadele ein, so ist sie gleich der kanonischen Injektion

Sei nun eine Basis der Körpererweiterung Also kann jedes geschrieben werden als wobei eindeutig sind. Die Abbildung ist stetig. Definiere nun (hängen von ab) via der Gleichungen

Norm und Spur von werden definiert als:

Dies sind genau die Spur bzw. die Determinante der linearen Abbildung Beides sind stetige Funktionen auf dem Adelering.

Eigenschaften von Norm und Spur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Norm und die Spur erfüllen die üblichen Eigenschaften:

Weiterhin gilt, dass für die Spur und die Norm der üblichen Spur und Norm der Körpererweiterung entspricht. Für einen Körperturm haben wir wie gewohnt

Weiterhin kann gezeigt werden:

Anmerkung: Der letzte Punkt ist nicht trivial, vgl. hierzu Weil (1967), S. 52ff bzw. S. 64 oder Cassels (1967), S. 74.

Eigenschaften des Adelerings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzipiell gilt, dass in den Beweisen die Situation oft auf den Fall oder zurückgeführt werden können. Die Verallgemeinerung für beliebige globale Körper oder ähnliche Objekte ist dann oft trivial.

Der Adelering ist ein lokalkompakter, topologischer Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper. Dann ist für jede Stellenmenge der Ring ein topologischer Ring. Weiterhin ist eine lokalkompakte Gruppe. Das bedeutet, dass die Menge mit ihrer Topologie lokalkompakt ist und die Gruppenverknüpfung stetig ist. Dies wiederum bedeutet, dass die Abbildung

stetig ist. Darüber hinaus soll auch die Inversionsabbildung der Gruppenverknüpfung stetig sein, d. h. die Abbildung

soll stetig sein.

Eine Umgebungsbasis der in ist auch eine Umgebungsbasis der im Adelering. Alternativ bilden auch alle Mengen der Form wobei Umgebung der in und für fast alle eine Umgebungsbasis der im Adelering.

Beweisidee: Die Lokalkompaktheit der Menge folgt aus der Definition der restringierten Produkttopologie und der Kompaktheit der Die Stetigkeit der Gruppenoperationen lässt sich auf die Stetigkeit der Gruppenoperation in den einzelnen Komponenten zurückführen. Dort sind die entsprechenden Abbildungen stetig. Ein ausführlicherer Beweis findet sich in Deitmar (2010), S. 124, Satz 5.2.1.

Bemerkung: Dieses Ergebnis lässt sich auf den Adelering eines -Vektorraums und den Adelering einer -Algebra übertragen.

Der globale Körper ist eine diskrete, kokompakte Untergruppe in seinem Adelering[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Adelering enthält den globalen Körper als diskrete, kokompakte Untergruppe, d. h. ist diskret und ist in der Quotiententopologie kompakt. Insbesondere ist abgeschlossen in

Beweis: Ein Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 64, Theorem oder in Weil (1967), S. 64, Theorem 2. Im Folgenden wird der Beweis für den Fall wiedergegeben:

Um zu zeigen, dass diskret in ist, reicht es zu zeigen, dass es eine Umgebung der gibt, welche keine weiteren Elemente von enthält. Durch Translation dieser Umgebung kann der allgemeine Fall gezeigt werden. Sei nun

Dann ist eine offene Umgebung der in Es bleibt zu zeigen: Sei dazu Da und für alle ist, folgt Da zusätzlich noch gilt, dass ist, folgt

Nun zur Kompaktheitsaussage: Definiere die Menge

Wir zeigen nun, dass jede Klasse von einen Vertreter in hat, das heißt wir müssen zeigen, dass für jedes Adel ein existiert, sodass Sei nun also beliebig. Sei eine Primzahl für die gilt: Dann existiert ein mit und Nun ersetze durch Dies beeinflusst die anderen Stellen wie folgt:

Sei eine weitere Primzahl. Dann gilt: Es folgt, dass (für die Hinrichtung ist zu beachten, dass in der scharfen Dreiecksungleichung Gleichheit gilt, falls die Beträge der beiden beteiligten Zahlen verschieden sind).

Damit haben wir die (endliche) Primstellenmenge mit der Eigenschaft, dass die Komponenten nicht in liegen, um eins verkleinert. Iteration liefert die Existenz eines sodass ist. Jetzt wähle so dass Da folgt: für Betrachte nun die stetige Projektion Sie ist surjektiv. Also ist das stetige Bild eines Kompaktums, also selbst kompakt. Der Fall geht ähnlich.

Der Zusatz ist ein Lemma über topologische Gruppen.

Korollar: Sei ein globaler Körper und sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Dann ist diskret in und kokompakt in d. h. ist kompakt.

Eigenschaften des rationalen Adelerings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei wie zuvor. Dann gilt:

Weiterhin gilt, dass uneingeschränkt divisibel ist, d. h. die Gleichung hat für jedes und eine Lösung Allerdings ist diese Lösung im Allgemeinen nicht eindeutig.

Außerdem gilt, dass dicht in ist. Eine allgemeinere Formulierung dieser Aussage findet sich im Satz über starke Approximation.

Beweis: Die ersten Aussagen können elementar bewiesen werden. Die nächste Aussage findet sich so in Neukirch (2007) auf Seite 383. Wir beweisen sie im Folgenden. Sei und sei beliebig. Zu zeigen: Es existiert ein sodass gilt: Wir zeigen, dass uneingeschränkt reversibel ist, dann folgt bereits die Behauptung. Dies ist jedoch klar, da in jeder Koordinate ein Körper mit Charakteristik ungleich Null ist. Nun zu einem Gegenbeispiel, welches zeigt, dass nicht eindeutig reversibel ist. Sei und beliebig. Dann erfüllt die Gleichung Ebenfalls erfüllt diese Gleichungen, denn Da n nur endlich viele Teiler hat, ist wohldefiniert. Aber denn (betrachte unendliche Koordinate)

Bemerkung: In unserem Fall ist die eindeutige Reversibilität äquivalent zur Torsionsfreiheit und die ist hier nicht gegeben, da aber und

Zur letzten Aussage: Es gilt da wir die endlich vielen Nenner in den Koordinaten der Elemente von durch ein Element erreichen können. Wenn wir zeigen können, dass dicht in ist, folgt dann bereits die Behauptung. Es ist also zu zeigen, dass sich in jeder offenen Teilmenge von ein Element aus befindet. Die offene Menge kann ohne Einschränkung als

angenommen werden, denn bilden eine Umgebungsbasis der in

Mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zeigt man nun die Existenz eines mit da Primzahlpotenzen zu verschiedenen Primzahlen teilerfremd sind. Dies bedeutet so viel wie

Haarmaß auf dem Adelering[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper. Dann ist eine lokalkompakte Gruppe. Folglich existiert ein Haarmaß auf dieser Gruppe, welches folgendermaßen normalisiert werden kann: Sei eine einfache Funktion auf d. h. wobei messbar und für fast alle Das Haarmaß auf kann so normalisiert werden, dass für jede integrierbare, einfache Funktion die Produktformel

gilt, wobei für jede endliche Stelle gilt. An den unendlichen Stellen wird das Lebesgue-Maß von bzw. genommen. Um einzusehen, warum das Maß so normalisiert werden kann, wird es zuerst auf den sogenannten einfachen Mengen ( mit offen und fast immer) definiert und dann auf die ganze Borel-σ-Algebra fortgesetzt. Dies findet sich in Deitmar (2010), S. 126, Satz 5.2.2.

Es kann gezeigt werden, dass endliches Volumen im Quotientenmaß hat. Das Quotientenmaß wird vom Haarmaß auf induziert. Diese Aussage ist ein Korollar aus dem obigen Satz, da die Kompaktheit das endliche Maß dieser Menge impliziert.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Endlichkeit der Klassenzahl eines Zahlkörpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt wollen wir die Endlichkeit der Klassenzahl für einen algebraischen Zahlkörper beweisen. Dies kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Im Beweis des Satzes über die Charakterisierung der Idelegruppe wird dieser Endlichkeitssatz schon verwendet. Es gibt im Wesentlichen zwei Herangehensweisen: Im einen Fall zeigt man zuerst die Endlichkeit der Klassenzahl und leitet dann die Resultate über Adele und Idele ab, im anderen Fall folgert man die Endlichkeit der Klassenzahl aus diesen Resultaten.

Satz (Endlichkeit der Klassenzahl eines Zahlkörpers): Sei ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist

Beweis der Endlichkeit der Klassenzahl: Die Abbildung ist surjektiv und deswegen ist das stetige Bild des Kompaktums also kompakt. Gleichzeitig ist auch diskret, also endlich.

Bemerkung: Ein ähnliches Ergebnis gilt auch für den Funktionenkörperfall. Hier wird eine sogenannte Divisorgruppe („divisor group“) von definiert und man kann zeigen, dass die Divisoren von Grad modulo der Menge der Hauptdivisoren eine endliche Gruppe bilden (dies sind die analogen Begriffe im Funktionenkörperfall) (vgl. Cassels (1967), S. 71).

Einheiten und Dirichletscher Einheitensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition und Eigenschaften erster Hilfsgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein globaler Körper. Sei eine endliche Teilmenge der Stellenmenge, welche enthält. Definiere

Dann gilt, dass eine Untergruppe von ist, welche alle Elemente enthält, die für alle erfüllen. Da diskret in ist, ist eine diskrete Untergruppe von und ebenfalls von

Eine alternative Definition von ist, dass wobei der Unterring von gegeben ist durch Also enthält alle Elemente für die gilt, dass für alle

Sei Dann ist die Menge endlich. Um dies einzusehen, definiere

Dann gilt, dass kompakt ist und die oben beschriebene Menge ist der Schnitt aus mit der diskreten Untergruppe von Daraus folgt die Endlichkeit der oben beschriebenen Menge.

Definiere nun weiterhin und wobei die Gleichheit auf Grund der allgemeinen Produktformel gilt. Dann gilt

für jede endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält.

Satz: Einheitswurzeln von [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist eine endliche zyklische Gruppe, welche alle Einheitswurzeln von enthält. Es folgt, dass gerade die Gruppe der Einheitswurzeln von ist.

Beweis: Es gilt Da diskret in ist, ist diskret in Weiterhin ist die Menge kompakt und damit ist eine Teilmenge einer kompakten Menge. Es folgt, dass endlich ist. Wegen der allgemeinen Produktformel gilt für alle dass für alle Also ist eine endliche Untergruppe von Da ein Körper ist, folgt, dass zyklisch ist. Offensichtlich liegt jede Einheitswurzel von in da alle Einheitswurzeln von Betrag und damit Bewertung haben. Angenommen, es existiert ein welches keine Einheitswurzel in ist. Dann gilt, dass für alle Dies Widerspricht der Endlichkeit der Gruppe

Satz: Verallgemeinerter Dirichletscher Einheitensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Situation wie zuvor. Dann gilt, dass das direkte Produkt der Gruppe aller Einheitswurzeln von und einer Gruppe isomorph zu ist. Dabei ist im Fall und falls Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 78f. oder auch in Cassels (1967), S. 72f.

Satz: Dirichletscher Einheitensatz

Sei ein algebraischer Zahlkörper und sein Ganzheitsring. Dann gilt

wobei die endliche, zyklische Gruppe der Einheitswurzeln von ist und der Typ des Zahlkörpers, d. h. ist die Anzahl der reellen Einbettungen von und ist die Anzahl an komplexen Einbettungen von Es gilt

Bemerkung: Dies ist eine Verallgemeinerung des Dirichletschen Einheitensatzes. Für einen algebraischen Zahlkörper setze um den Dirichletschen Einheitensatz in seiner klassischen Formulierung aus der verallgemeinerten Formulierung zu erhalten. In der englischen Literatur ist dieser Satz bekannt unter „Theorem of the units“. Natürlich ist der Dirichletsche Einheitensatz älter als obiges Resultat und wird im Allgemeinen zuvor eigenständig bewiesen und dann dazu benutzt, die Kompaktheit von zu zeigen.

Beweis dieser Bemerkung:

Wir wissen bereits, dass Weiterhin gilt, dass

Darüber hinaus gilt:

„Approximation Theorems“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz: „weak approximation theorem“

Seien wobei nichtäquivalente, nichttriviale Beträge auf einem Körper Sei Diese sind insbesondere topologische Räume. Bette diagonal in ein. Dann gilt, dass überall in dicht ist. Mit anderen Worten gilt, dass für jedes und für jedes ein existiert, sodass

Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 48f.

Satz: „strong approximation theorem“

Sei ein globaler Körper und sei eine Stelle von Definiere

Dann ist dicht in Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 67f.

Bemerkung: Der globale Körper ist diskret in seinem Adelering. Für dieses Resultat ist es wichtig, dass alle Stellen des globalen Körpers betrachtet werden. Der vorherige Satz zeigt, dass bereits das Weglassen von einer Stelle die Diskretheit in die Dichtheit des globalen Körpers verwandelt.

„Lokal-Global“ und Hasse-Prinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Begriffsmotivation: „Lokal“ und „Global“

Sei ein globaler Körper und eine endliche Körpererweiterung von Dann bezeichnet man als globale Erweiterung. Sei nun eine Stelle von und eine über liegende Stelle von Dann bezeichnet man die (endliche) Körpererweiterung als lokale Erweiterung. Woher kommen nun diese Bezeichnungen? Um dies einzusehen, betrachten wir den Funktionenkörperfall, bspw. obwohl dies kein globaler Körper mehr ist. Sei eine endliche Körpererweiterung. Die Elemente von sind algebraische Funktionen auf einer Riemannschen Fläche, also auf einem globalen Objekt. Der Übergang von zu bedeutet nun, dass wir zu Potenzreihenentwicklungen übergehen, also zum lokalen Studium solcher Funktionen. Für mehr Informationen wird auf Neukirch (2007), S. 169 verwiesen.

Satz: Minkowski-Hasse

Eine quadratische Form über einem Zahlkörper stellt genau dann die Null dar, wenn sie dies über jeder Komplettierung tut.

Bemerkung: Dies ist das Hasse-Prinzip für quadratische Formen, im Allgemeinen, d. h. für Polynome belieben Grades, ist das Hasse-Prinzip nicht gültig.

Bemerkung: Das Lokal-Global-Prinzip ist also jenes Prinzip, welches eine Problemstellung über einem Zahlkörper auf analoge Problemstellungen über seinen Komplettierungen zurückführt.

Charaktere auf dem Adelering[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Duale Gruppe

Sei eine lokalkompakte, abelsche Gruppe. Definiere die duale Gruppe von als die Menge aller Charaktere von d. h. die Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen von nach Auf wird die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Teilmengen von installiert. Man kann zeigen, dass wieder eine lokalkompakte, abelsche Gruppe wird.

Satz: Selbstdualität des Adelerings

Sei ein globaler Körper. Der Adelering ist selbstdual, d. h. es gilt

Beweis: In einem ersten Schritt wird gezeigt, dass selbstdual ist für jede Stelle sofern man einen Charakter fixiert. Wir führen dies am Beispiel von vor. Definiere via: Dann definiere die Abbildung mit also Man zeigt schnell, dass ein Isomorphismus ist, welcher die Topologien respektiert. Hat man die Selbstdualität im lokalen gezeigt, kann man zeigen, dass der Adelering selbstdual ist, indem auf den lokalen Fall zurückgegriffen wird.

Satz: Algebraischer und topologischer Dual des Adelerings

Sei ein globaler Körper und sei ein nicht-trivialer Charakter von welcher allerdings trivial auf wirkt. Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Sei der algebraische Dual von sei der algebraische Dual von und sei der topologische Dual von Dann induziert die Abbildungsvorschrift für alle einen Isomorphismus von wobei und Hierbei meint bzw. jeweils die entsprechende bilineare Paarung auf bzw. Darüber hinaus gilt folgendes: Wenn zusätzlich noch für alle erfüllt, dann gilt Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 66.

Mit Hilfe der Charaktere auf können wir Fourier-Analysis auf dem Adelering betreiben (vgl. Deitmar (2010), S. 129ff).

Die Doktorarbeit von John Tate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

John Tate erzielte in seiner Doktorarbeit „Fourier analysis in number fields and Heckes Zetafunctions“ (vgl. Cassels (1967)) Erkenntnisse über L-Funktionen, indem er Fourieranalyse auf den Adelering bzw. die Idelegruppe anwendete. Der Adelering und die Idelegruppe finden daher Anwendung bei der Untersuchung der Riemannschen Zetafunktion und bei der Untersuchung allgemeiner Zetafunktionen bzw. L-Funktionen. Man kann diese Funktionen in einer adelischen Version definieren und sie als Integral über den Adelering bzw. die Idelegruppe über die entsprechenden Haarmaße darstellen und daraus meromorphe Fortsetzungen und Funktionalgleichungen ableiten. Wir geben ein Beispiel. Für jede komplexe Zahl mit gilt:

wobei das eindeutig normalisierte Haarmaß auf ist mit welches durch Null auf den ganzen Adelering ausgedehnt wird. Die obige Gleichung bedeutet, dass die Riemannsche Zetafunktion als Integral über den Adelering bzw. einer Teilmenge derselben dargestellt werden kann. Ein Beweis findet sich in Deitmar (2010), S. 128, Satz 5.3.4. Beachte außerdem S. 139ff für weitere Informationen über die Doktorarbeit von John Tate.

Automorphe Formen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten den Fall

In moderner Notation ist eine automorphe Form eine Funktionen auf der Gruppe welche einige zusätzliche Bedingungen erfüllt. Um diese zu beschreiben, definieren wir und als das Zentrum der Gruppe Es gilt, dass Wir definieren eine automorphe Form als ein Element des Vektorraums Um automorphe Formen zu untersuchen, ist es wichtig die Darstellungen der Gruppe zu kennen, welche durch den Tensorproduktsatz charakterisiert werden. Man kann außerdem auch sogenannte automorphe L-Funktionen betrachten, welche als Integral über die Gruppe dargestellt werden können. Weitere Informationen finden sich in Deitmar (2010) in dem Kapitel über die automorphen Darstellungen der Adelegruppe und in dem Kapitel über die automorphen L-Funktionen.

Weitere Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von (Langlands-Programm).

Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Auch außerhalb der Klassenkörpertheorie finden sich Anwendungen. Die Selbstdualität des Adelerings impliziert im Funktionenkörperfall (hier ist ein Funktionenkörper über einer Kurve) den Satz von Riemann-Roch für diese Kurve und die entsprechende duale Theorie für diese Kurve.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]