Adjungierter Operator

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In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator ein adjungierter Operator (manchmal auch dualer Operator) definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei Vektorräumen mit gemeinsamem Grundkörper ( oder ) definiert werden, adjungierte Operatoren werden allerdings häufig nur auf Hilberträumen betrachtet, also beispielsweise (endlichdimensionalen) euklidischen Räumen. Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren, bei komplexen Einträgen dem (komplex) Konjugieren und Transponieren der Ausgangsmatrix. In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird daher, in Analogie zur Matrixtheorie, der adjungierte Operator in der Regel nicht mit sondern mit bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird der adjungierte eines Operators zwischen Hilberträumen definiert. Der erste Unterabschnitt beschränkt sich auf beschränkte also stetige Operatoren. Im zweiten Abschnitt wird das Konzept auf unbeschränkte Operatoren erweitert.

Beschränkte Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und Hilberträume und ein linearer beschränkter Operator. Der adjungierte Operator ist durch die Gleichung

definiert.

Alternativ kann für jedes die Abbildung betrachtet werden. Dies ist ein auf dem ganzen Hilbertraum definiertes, lineares stetiges Funktional. Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz besagt, dass für jedes stetige lineare Funktional ein eindeutig bestimmtes Element existiert, sodass für alle gilt. Also insgesamt existiert für jedes genau ein Element mit . Nun wird gesetzt. Diese Konstruktion ist äquivalent zu obiger Definition.[1]

Unbeschränkte Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und Hilberträume. Mit wird der Definitionsbereich des linearen Operators bezeichnet. Die Operatoren und heißen zueinander formal adjungiert, falls

für alle und gilt. Unter diesen Voraussetzungen ist im Allgemeinen nicht eindeutig durch gegeben. Ist dicht definiert, so existiert ein zu maximaler, formal adjungierter Operator . Diesen nennt man den adjungierten Operator von .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wählt man als Hilbertraum den endlichdimensionalen unitären Vektorraum , so kann ein stetiger linearer Operator auf diesem Hilbertraum durch eine Matrix dargestellt werden. Der dazu adjungierte Operator wird dann durch die entsprechende adjungierte Matrix dargestellt. Daher ist der adjungierte Operator eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix.
  • In diesem Beispiel wird der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen betrachtet. Mit einer entsprechenden Funktion (beispielsweise ) ist der Integraloperator
stetig auf . Sein adjungierter Operator lautet

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei dicht definiert. Dann gilt:

  • Ist dicht, so ist , das heißt und auf
  • . Dabei steht Ker für den Kern des Operators und Ran (für Range) für den Bildraum.
  • ist genau dann beschränkt, wenn beschränkt ist. In diesem Fall gilt
  • Ist beschränkt, so ist die eindeutige Fortsetzung von auf

Sei dicht definiert. Der Operator ist definiert durch für . Ist dicht definiert, so ist . Ist beschränkt, so gilt sogar die Gleichheit.

Seien ein Hilbertraum und . Dann wird die Hintereinanderausführung beziehungsweise Komposition von und definiert durch für . Ist dicht definiert, so gilt . Ist beschränkt, erhält man .

Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein linearer Operator heißt

  • symmetrisch oder formal selbstadjungiert, falls für alle gilt.
  • wesentlich selbstadjungiert, falls symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist.
  • selbstadjungiert, falls dicht definiert und gilt.

Außerdem gibt es noch den Begriff des hermiteschen Operators. Dieser wird vor allem in der Physik verwendet, jedoch nicht einheitlich definiert.

Verallgemeinerung auf Banachräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Adjungierte Operatoren können auch allgemeiner auf Banachräumen definiert werden. Für einen Banachraum bezeichnet den topologischen Dualraum. Im Folgenden wird die Schreibweise für und benutzt. Seien und Banachräume und sei ein stetiger, linearer Operator. Der adjungierte Operator

wird definiert durch

Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilberträumen zu unterscheiden, werden diese oft mit einem statt mit einem notiert.

Ist der Operator jedoch nicht stetig aber dicht definiert, so definiert man den adjungierten Operator

durch

Der Operator ist stets abgeschlossen, wobei möglich ist. Ist ein reflexiver Banachraum und , dann ist genau dann dicht definiert, wenn abschließbar ist. Insbesondere gilt dann .

Abweichende Konventionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere im linearen komplexen Fall wird für den dualen Operator statt auch (Transposition und Übergang zum Konjugiert-Komplexen) genutzt, um eine Verwechslung mit für die komplex konjugierte Matrix zu vermeiden. Letztere wird auch mit beschrieben, was aber von Physikern eher für die Mittelwertbildung reserviert ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236.