Adjunkte

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Die Adjunkte, klassische Adjungierte (nicht zu verwechseln mit der echten adjungierten Matrix) oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Transponierte der Kofaktormatrix, also die Transponierte jener Matrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Minoren (Unterdeterminanten) sind.

Mit Hilfe der Adjunkten kann man die Inverse einer regulären quadratischen Matrix berechnen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Adjunkte einer quadratischen Matrix mit Einträgen aus einem Körper ist definiert als

.

Es ist hierbei zu beachten, dass an der Stelle der Kofaktor steht. Die Kofaktoren berechnen sich zu

.

Die Minoren sind also die Werte der Unterdeterminanten der Matrix , die durch Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation nicht immer eindeutig ist, ist Vorsicht geboten. Oft wird dieselbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte) verwendet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(2 × 2)-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine beliebige -Matrix hat die Form

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

(3 × 3)-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine beliebige -Matrix hat die Form

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus

, wobei eine Einheitsmatrix ist.
für , wobei 0 die Nullmatrix ist. Für -Matrizen gilt jedoch immer, auch für die Nullmatrix: .
wobei
, insbesondere für -Matrizen gilt

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich

Berechnung der Inversen einer Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems mit dem -ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der cramerschen Regel, so erhält man die Formel

Diese Formel gilt nur für invertierbare Matrizen! Eine beliebige -Matrix lässt sich somit auf sehr einfache Weise invertieren:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]