Affinität (Mathematik)

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In der Geometrie bezeichnet man als Affinität eine strukturerhaltende bijektive Abbildung eines affinen Raumes (häufig der Zeichenebene oder des dreidimensionalen Anschauungsraums) auf sich selbst. Der Begriff umfasst und verallgemeinert den Begriff der Ähnlichkeit, bei der zusätzlich die Verhältnisse beliebiger Streckenlängen und die Maße von Winkeln (→ siehe Winkeltreue) erhalten bleiben.

  • Eine Affinität ist also eine affine Abbildung eines affinen Raumes in sich selbst, welche zugleich eine Bijektion ist. Sie hat damit stets die Eigenschaft[1], dass
  1. die Punkte und Geraden des Raumes auf Punkte bzw. Geraden unter Erhaltung der Kollinearität abgebildet werden: Punkte auf einer Geraden werden auf Punkte der zugehörigen Bildgeraden abgebildet,
  2. das Teilverhältnis von beliebigen drei Punkten auf einer beliebigen Geraden erhalten bleibt (Teilverhältnistreue) und
  3. jedes Paar paralleler Geraden auf ein Paar paralleler Geraden abgebildet wird (Parallelentreue).[2]
  • Jede Affinität ist eine Kollineation, hat also die erstgenannte Eigenschaft der Geradentreue.
  • Im Euklidischen Raum verändert eine Affinität im Allgemeinen die Längen von Strecken und die Maße von Winkeln und damit auch Flächen- und Rauminhalte. Affinitäten des Euklidischen Raumes, welche auch diese Größen unverändert lassen, also Isometrien sind, heißen Bewegungen.
  • Ebenso werden durch eine Affinität eines Euklidischen Raumes im Allgemeinen die Verhältnisse von Strecken (Längenverhältnisse) verändert. Werden sie und damit auch Winkel zwischen Geraden dagegen nicht verändert, so nennt man eine solche Affinität Ähnlichkeit.

In der synthetischen Geometrie wird der Begriff Affinität für zweidimensionale affine Räume, also Ebenen verallgemeinert: Eine Kollineation auf einer affinen Ebene ist genau dann eine Affinität, wenn jede ihrer Einschränkungen auf eine Gerade durch eine Komposition von Parallelprojektionen dargestellt werden kann. Für desarguesche Ebenen ist diese Definition äquivalent zu der Definition „Eine Affinität ist eine teilverhältnistreue Kollineation.“, die in der analytischen Geometrie verwendet wird. Für mindestens dreidimensionale affine Räume erübrigt sich eine Verallgemeinerung, da diese stets desarguesch sind, eindimensionale Räume werden für sich genommen in der synthetischen Geometrie nicht betrachtet.

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Abbildungsvorschrift nach Wahl einer affinen Punktbasis für die Ortsvektoren in der Form

angeben. Der Vektor heißt Verschiebungsvektor, ist eine quadratische Matrix, die sogenannte Abbildungsmatrix. Für ihre Determinante ist stets , d. h. die Abbildung ist bijektiv.

Hier wird der affine Raum als ein Vektorraum über einem Körper (in der Geometrie meist ) aufgefasst. Die Punkte des affinen Raumes sind die Vektoren aus (Ortsvektoren), und affine Unterräume sind die additiven Nebenklassen der linearen Unterräume dieses Vektorraums . Von dem Vektorraum wird dabei in der Geometrie stets und auch in der Linearen Algebra überwiegend vorausgesetzt, dass seine Dimension endlich ist.

Klassifizierung von Affinitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Radiale Affinitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Affinität heißt radiale/zentrische Affinität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt, dies ist äquivalent zu .

(Der Rang wird in Rang erläutert.)

Perspektive Affinitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Affinität heißt perspektive Affinität, wenn sie genau eine Fixpunkthyperebene besitzt, was äquivalent mit ist.

Eine perspektive Affinität heißt Parallelstreckung, wenn sie neben dem Eigenwert noch einen Eigenwert besitzt.

Eine Parallelstreckung mit heißt Affinspiegelung. Sie heißt Scherung, wenn sie nur den Eigenwert besitzt.

Eine perspektive Affinität besitzt ein Invariantes Rechtwinkelpaar.

Homothetien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Affinität mit

mit heißt Homothetie oder Dilatation.

Falls außerdem

  • , heißt Zentralstreckung.
  • , heißt Verschiebung oder Translation
  • , heißt Punktspiegelung.

Unimodularität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Affinität heißt unimodular, wenn .

Sie ist eigentlich unimodular, wenn .

Inhaltstreue[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der zugrunde liegende Körper angeordnet, so ist eine Affinität inhaltstreu, wenn .

Sie ist gleichsinnig, wenn .

Eigenschaften allgemeiner Affinitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Affinitäten besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die bei Konstruktionen ausgenutzt werden können.

Bijektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Affinität ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

Geradentreue[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bild einer Geraden unter einer Affinität ist wieder eine Gerade.

Parallelentreue[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bilder paralleler Geraden unter einer Affinität sind wieder parallel.[2]

Teilverhältnistreue[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Punkt der Strecke und sind die Bilder von und unter einer Affinität, so ist das Teilverhältnis von gleich dem Teilverhältnis von . Speziell gilt: Ist Mittelpunkt von , so ist der Bildpunkt von M unter einer Affinität der Mittelpunkt der Strecke .

Eigenschaften ebener perspektiver Affinitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer perspektiven Affinität in einem zweidimensionalen affinen Raum, der Ebene, ist die Fixpunkthyperebene eine Gerade, die auch als Achse der Affinität bezeichnet wird. Man spricht hier auch von Achsenaffinitäten.

Geraden durch Punkt und Bildpunkt sind Fixgeraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gerade , durch einen Punkt und seinen Bildpunkt ist eine Fixgerade. Dies lässt sich mit Hilfe der Fixpunktgerade der perspektiven Affinität zeigen:

  • Wenn die Fixpunktgerade in einem Punkt schneidet, so ist das Bild von aufgrund der Geradentreue die Gerade . Diese fällt aber mit zusammen.
  • Wenn parallel zu ist, dann ist das Bild von aufgrund der Parallelentreue eine Parallele zu durch , da das Bild von gleich selbst ist. Diese Parallele fällt aber mit zusammen.

Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden

Das Bild einer Parallelen zu einer Fixgeraden ist selbst wieder eine Fixgerade. Die Aussage folgt aus der Parallelen- und Teilverhältnistreue:

  • Da und parallel sind, muss auch und parallel sein. Aus der Transitivität der Parallelität folgt, dass dann auch und parallel sein müssen.
  • Wähle einen Punkt auf der Affinitätsachse und einen Punkt auf .
  • Da und parallel sind, schneidet die Verbindungsgerade auch in einem Punkt .
  • Da eine Fixgerade ist, liegt das Bild von auf und das Bild von ist gleich .
  • Über die Verhältnistreue folgt, dass zu wie zu .
  • Mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes ergibt sich, dass dann auf einer Parallele zu durch (also auf ) liegen muss. Da und parallel sind und den Punkt gemeinsam haben, müssen sie identisch sein.

Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bildpunkt unter einer perspektiven Affinität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion des Bildpunktes Q' von Q unter einer perspektiven Affinität.

Gegeben sei eine perspektive Affinität über ihre Fixpunktgerade und das Punkt/Bildpunkt-Paar , . Das Bild eines beliebigen Punktes lässt sich damit wie folgt konstruieren:

  • Wähle einen beliebigen Punkt auf der Fixpunktgeraden .
  • Zeichne die Verbindungsgerade .
  • Das Bild von ist aufgrund der Geradentreue der Abbildung wieder eine Gerade. Das Bild von ist selbst, da auf der Fixgeraden liegt. Damit ist das Bild von die Gerade .
  • Zeichne eine Parallele zu durch . Diese schneidet in einem Punkt . Aufgrund der Parallelentreue der Abbildung ist das Bild von eine Parallele zu durch den Punkt . Der gesuchte Punkt liegt auf dieser Parallelgeraden.
  • Zeichne die Gerade . Sie schneidet in einem Punkt (ist das nicht der Fall, ist eine Sonderbehandlung notwendig). Das Bild dieser Geraden ist . Der gesuchte Punkt liegt ebenfalls auf dieser Geraden und ist daher der Schnittpunkt von und der Parallele von durch .

Eine andere Möglichkeit der Konstruktion spart den Hilfspunkt ein und nutzt die Eigenschaft aus, dass Geraden durch Punkt und Bildpunkt Fixgeraden sind:

  • Zeichne die Gerade . Da es sich um eine Gerade durch Punkt und Bildpunkt handelt, ist das Bild dieser Geraden die Gerade selbst.
  • Zeichne eine Parallele zu durch . Sie schneidet die Fixgerade in .
  • Das Bild von ist selbst:
    • Geradentreue: Da parallel zu , verläuft das Bild von parallel zum Bild von .
    • ist eine Fixgerade: Das Bild von ist selbst. Daraus folgt, dass das Bild von parallel zu sich selbst ist.
    • Da der Punkt Teil der Fixpunktgeraden ist, ist das Bild von gleich selbst.
    • Da das Bild von durch verläuft und parallel zu sich selbst ist, kann es nur selbst sein.
  • Damit ist Teil von .
  • Mit der Überlegung der ersten Konstruktion liegt damit auf dem Schnittpunkt von und (mit dem Schnittpunkt von und ).

Gruppenstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der Affinitäten über einem affinen Raum bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Ist dem affinen Raum der -dimensionale Vektorraum zugeordnet, dann lässt sich diese Gruppe (hier abkürzend als geschrieben) in die Allgemeinen linearen Gruppen als Untergruppe einordnen.

Die Gruppe der Affinitäten ist auch eine Untergruppe der Gruppe der (ebenentreuen) Kollineationen.

Gruppenoperationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die von einer Affinität geforderten Eigenschaften ergeben sich in natürlicher Weise verschiedene Gruppenoperationen:

  • operiert als Abbildungsgruppe
  1. auf der Punktmenge ,
  2. auf der Menge der affinen Teilräume von einer festen Dimension mit ,
  3. auf Mengen von Richtungen im affinen Raum, zum Beispiel der Menge aller Scharen paralleler Geraden.
  • Die Gruppe operiert scharf einfach transitiv auf der Menge der affinen Punktbasen des affinen Raums . Das bedeutet hier: Gibt man Punkte in allgemeiner Lage (so, dass die Verbindungsvektoren des ersten Punktes mit den übrigen Punkten linear unabhängig sind) vor, dann gibt es genau eine Affinität, bei der die Standardbasis auf diese Punkte (in der vorgegebenen Reihenfolge) abgebildet wird. Daraus ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Anzahl der Elemente von zu berechnen, wenn ein endlicher Körper ist.

Gruppenstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe

  1. ist für stets nichtkommutativ,
  2. enthält die allgemeine lineare Gruppe als Untergruppe - die Affinitäten, bei denen der fest gewählte Ursprung Fixpunkt ist, deren Translationsanteil oder Verschiebungsvektor also der Nullvektor ist,
  3. kann als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe aufgefasst werden,
  4. kann als Untergruppe der Projektiven linearen Gruppe aufgefasst werden - hier gehören jene Projektivitäten zu , die eine feste Hyperebene des projektiven Raumes, die Fernhyperebene als Fixhyperebene auf sich selbst abbilden,
  5. enthält die kommutative Untergruppe der Translationen (reine Verschiebungen, deren Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix ist) als Normalteiler,
  6. ist inneres semidirektes Produkt von und .
  7. Der Normalteiler der Translationen ist isomorph zur additiven Gruppe des zugrundeliegenden Vektorraums.
  8. operiert durch Konjugation scharf einfach transitiv auf der Menge von Untergruppen . Dabei ist diejenige Untergruppe von , die einen bestimmten Punkt des affinen Raumes auf sich abbildet. Jede dieser Untergruppen ist zu isomorph.

Gruppenordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Körper ein endlicher Körper mit Elementen, dann ist die Gruppe der Affinitäten endlich und ihre Ordnung ist

.

Dabei ist der Faktor die Ordnung der Translationsgruppe , er ist zugleich der Index der Untergruppe , die den Ursprung auf sich abbildet. Die Ordnung dieser Untergruppe liefert die übrigen Faktoren (→siehe Allgemeine lineare Gruppe#Über endlichen Körpern).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rolf Brandl: Vorlesungen über Analytische Geometrie. Verlag Rolf Brandl, Hof 1996.
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 6., überarbeitete Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig [u.a.] 1992, ISBN 3-528-57235-3.
  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 14. Januar 2012]).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Scheja und Storch §43
  2. a b Die Parallelentreue folgt aus der ersten Forderung an eine Affinität, der Erhaltung der Kollinearität, außer im Falle von affinen Räumen mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden, die mindestens dreidimensional sind. In allen Fällen ist sie, wenn die Geradentreue vorausgesetzt wird, äquivalent zur Ebenentreue (Scheja und Storch §43 und V.I). Vergleiche hierzu auch die ausführlichen Erläuterungen in Kollineation.