Aharonov-Bohm-Effekt

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Der Aharonov-Bohm-Effekt (nach David Bohm und Yakir Aharonov) ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein Magnetfeld die Interferenz von Elektronenstrahlen beeinflusst, obwohl diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von befinden. Hauptursache des Effekts ist, dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt und nicht durch das Magnetfeld selbst.

Der Aharonov-Bohm-Effekt wurde vom Magazin New Scientist als eines der Sieben Wunder in der Quantenwelt ausgewählt.[1]

Aharonov und Bohm veröffentlichten ihre Arbeit 1959. Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday konnten den Effekt jedoch bereits 1949 voraussagen[2]. Offenbar hat aber Walter Franz den Effekt bereits 1939 – also 20 Jahre vor Aharonov und Bohm – in einem Seminar der Physikalischen Gesellschaft, Gauverein Ostland in Danzig vorgestellt.[3]

Experiment[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schematische Darstellung des Experiments. Die Elektronen passieren zwei Spalte und bilden ein Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm. Dieses Interferenzmuster ändert sich, je nachdem ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist.

Im Experiment laufen geladene Teilchen (Elektronen) auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei, in dem ein Magnetfeld herrscht.[4] Der Zylinder ist von einer Wand umgeben, die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann; außerhalb ist das Magnetfeld Null. Trotzdem hängt der Ausgang des Experiments davon ab, ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist, denn das Vektorpotential ist im ersten Fall auch außerhalb des Zylinders vorhanden. Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation und damit das Magnetfeld ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist das Vektorpotential selbst nirgends Null.

Die Superposition der Wellenfunktionen hinter dem Zylinder ergibt ein Interferenzmuster,[5] das vom Vektorpotential beeinflusst wird, da die Wellenfunktionen auf Wegen rechts und links des Zylinders eine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten.

Experimente dieser Art wurden Anfang der 1960er Jahre u. a. von Möllenstedt und Robert G. Chambers[6] durchgeführt.

Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassisch erfolgt die Beeinflussung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld durch die Lorentzkraft des Magnetfeldes, nach der Bewegungsgleichung (bei Benutzung von cgs-Einheiten)[7]:

mit

  • der Masse des Teilchens
  • seiner Beschleunigung
  • seiner elektrischen Ladung
  • seiner Geschwindigkeit
  • der magnetischen Flussdichte
  • der Lichtgeschwindigkeit
  • dem Vektorprodukt .

Klassisch ist ein Effekt also nur dort zu erwarten, wo das Magnetfeld von Null verschieden ist (abgesehen vom elektrischen Feld , das hier unwesentlich ist).

In der Quantenmechanik dagegen beschreibt man das Verhalten des Teilchens durch den Hamilton-Operator:

mit

  • dem kanonischen Impulsoperator
  • dem kinetischen Impulsoperator
  • dem Vektorpotential
  • dem Ort
  • der Zeit t
  • dem skalaren elektrischen Potential , das hier unwesentlich ist.

Vektorpotential und Magnetfeld hängen zusammen durch den mathematischen Begriff der Rotation:

(Das Symbol (*) soll diese Gleichung für spätere Zwecke nummerieren.)

Das Vektorpotential ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten einer beliebigen skalaren Funktion bestimmt, da die Rotation eines Gradientenfeldes für zweifach stetig differenzierbare skalare Felder verschwindet (siehe Eichtransformation).

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen, dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehörige Kraftfeld. Das trifft jedoch nicht das Wesentliche: Letztlich ist der magnetische Fluss entscheidend, der durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden kann:

Der Integrationsweg muss geschlossen sein, was durch den Kreis im Integrationssymbol angedeutet wird, darf sich aber außerhalb des Bereiches mit befinden. Da verschiedene Flächen F beranden kann:

ist der magnetische Fluss eichinvariant, d. h. er hängt nicht von der oben erwähnten Funktion ab.

Nach dem Satz von Stokes

mit

  • dem Normalenvektor auf der Fläche
  • dem zweidimensionalen Flächenelement .

ist das Linienintegral über die geschlossene Kurve wegen Gleichung (*) identisch mit dem Fluss der magnetischen Flussdichte durch die eingeschlossene Fläche F:

Man kann den Effekt als Folge der nichttrivialen Topologie des Eichfeldes interpretieren:[8] Wegen des nicht einfach zusammenhängenden Raumes (der Zylinderinnenraum ist "ein Loch im Raum") verschwinden auch die Wegintegrale über geschlossene Kurven nicht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Seven wonders of the quantum world, newscientist.comVorlage:Toter Link/!...nourl (Seite nicht mehr abrufbar)
  2. Ehrenberg, Siday The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics, Proceedings of the Physical Society B, Band 62, 1949, S. 8–21. Aharonov und Bohm erfuhren erst nach ihrer Veröffentlichung von dieser Arbeit und wiesen in ihrem Aufsatz von 1961 darauf hin.
  3. HILEY, B. J. (2013): The Early History of the Aharonov-Bohm Effect. arxiv:1304.4736.
  4. Typische Versuchsanordnung
  5. Typische Verschiebung des Interferenzmusters (Memento vom 26. April 2016 im Internet Archive) (pdf; 26 kB)
  6. Chambers Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux, Physical Review Letters, Band 5 1960, S. 3–5
  7. bei der Formulierung im SI-Einheitensystem ist in den Formeln c durch 1 zu ersetzen
  8. C. Nash, Bohm-Aharonov Effect, Encyclopedia of Mathematics, Springer