Akra-Bazzi-Theorem

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In der Informatik dient das Akra-Bazzi-Theorem, oder auch die Akra-Bazzi-Methode, dazu, das asymptotische Verhalten von Lösungen mathematischer Rekursionsgleichungen zu bestimmen, die bei der asymptotischen Analyse insbesondere von Divide-and-Conquer-Algorithmen auftreten. Es wurde 1998 veröffentlicht und ist eine Verallgemeinerung des Master-Theorems, das nur auf diejenigen Divide-and-Conquer-Algorithmen angewandt werden kann, deren Teilprobleme gleiche Größe haben.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die Rekursionsgleichung

    für

für eine Funktion , so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Es sind genügend Basisfälle vorhanden, so dass die Gleichung eindeutig lösbar ist;
  • und sind für alle i konstant, mit und ;
  • , wobei c eine Konstante ist und O das Landau-Symbol bezeichnet;
  • für alle i;
  • ist eine Konstante.

Dann gilt für das asymptotische Verhalten von T(x) die Abschätzung in der Theta-Notation

mit , so dass

Intuitiv ist eine kleine Störung des Arguments von T. Wegen und da stets zwischen 0 und 1 ist, kann dazu benutzt werden, die Gauß-Klammer ("Floor-Funktion") im Argument zu ignorieren. Ähnlich kann man für die Irrelevanz der Aufrundungsfunktion ("Ceiling-Funktion") für das asymptotische Verhalten von T argumentieren. Beispielsweise haben und gemäß dem Akra-Bazzi-Theorem dasselbe asymptotische Verhalten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mergesort[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Mergesort ist die erforderliche Anzahl T(n) von Vergleichen, die näherungsweise proportional zu dessen Laufzeit ist, gegeben durch die Rekursionsgleichung

mit dem Basisfall . Somit lässt sich das Akra-Bazzi-Theorem anwenden, welches mit und k=2, , zunächst p=1 und damit das asymptotische Verhalten

ergibt.

Divide-and-Conquer mit ungleichen Teilproblemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei definiert als 1 für und für . Gemäß der Akra-Bazzi-Methode wird im ersten Schritt der Wert von p berechnet, so dass . Das ergibt hier p = 2. Im zweiten Schritt wird das asymptotische Verhalten nach der Formel berechnet:

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Akra-Bazzi-Theorem umfasst eine sehr weite Klasse von Rekursionsgleichungen und verallgemeinert wesentlich zuvor bekannte Sätze zur Bestimmung von asymptotischem Verhalten. Vorwiegend wird es für die Komplexitätsbetrachtung rekursiver Algorithmen verwendet, insbesondere von Divide-and-Conquer-Algorithmen.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mohamad Akra, Louay Bazzi: On the solution of linear recurrence equations. Computational Optimization and Applications 10(2), 1998, pp. 195-210.