Aleph-Funktion

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Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl mit der kleinsten zu gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus von auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von an der Stelle bezeichnet man mit , das heißt ist die -te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich rekursiv wie folgt definieren:

  • = kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
  • = kleinste Kardinalzahl, die größer als ist,
  • für Limes-Ordinalzahlen .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist , die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als , ist , und so weiter. Die Frage, ob gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich , aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als geschrieben werden.

Es gilt stets für alle Ordinalzahlen . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen , für die gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes (= die Vereinigung) der Folge . Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus dem Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
  • Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.