Alexandroff-Kompaktifizierung

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines nicht kompakten topologischen Raumes in einen kompakten topologischen Raum durch Hinzunahme eines einzelnen Punktes. Diese Kompaktifizierung ist nach dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff benannt. Er und Heinrich Tietze erkannten 1924 unabhängig voneinander, dass sich die aus der Funktionentheorie stammende Konstruktion der riemannschen Zahlenkugel zu dieser Kompaktifizierung verallgemeinern lässt.[1][2] Sie ist für lokalkompakte Hausdorff-Räume bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und ein Element, das nicht aus stammt. Zudem sei die Menge mit der Topologie

ausgestattet. Dann ist ein kompakter Raum, der als offenen Teilraum enthält. Die Kompaktifizierung ist durch die kanonische Injektion

gegeben.[3] Oft nennt man anstelle von auch den Raum die Alexandroff-Kompaktifizierung von , vorausgesetzt es handelt sich bei um eine dichte Teilmenge von .

Der Punkt wird zuweilen auch als unendlich fern[4] bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obige Konstruktion existiert für beliebige topologische Räume . Sie liefert jedoch nur für Räume, die selbst noch nicht kompakt sind, tatsächlich eine Kompaktifizierung: Ist der nach der vorangehenden Definition gebildete topologische Raum, so ist die Einpunktmenge offen, falls man als kompakt voraussetzt. In diesem Fall liegt nicht dicht in und die Injektion liefert folglich keine Kompaktifizierung.

Es ist von Vorteil, wenn eine Kompaktifizierung die Trennungseigenschaften eines topologischen Raumes erhält. So erhält die Alexandroff-Kompaktifizierung z. B. das T1-Axiom.[5] Die Hausdorff-Eigenschaft wird jedoch nur erhalten, wenn zusätzlich als lokalkompakt vorausgesetzt ist. Dann ist aber die Alexandroff-Kompaktifizierung im folgenden Sinne eindeutig bestimmt:

Seien und kompakte Hausdorff-Räume und zudem ein (lokalkompakter) Teilraum derselben, wobei und gelte, so sind und homöomorph.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die projektive Erweiterung der reellen Zahlen ist, zusammen mit der entsprechend erweiterten Topologie, eine Alexandroff-Kompaktifizierung des lokalkompakten Raumes der reellen Zahlen mit euklidischer Topologie . Sie ist homöomorph zur Kreislinie .
  • Die riemannsche Zahlenkugel ist, ähnlich zum vorangehenden Beispiel, eine Alexandroff-Kompaktifizierung, durch welche man eine Homöomorphie zur Sphäre erhält.[6]
  • Allgemeiner ist für ein die Alexandroff-Kompaktifizierung von mit euklidischer Topologie homöomorph zur Einheitssphäre .[7]
  • Ist ein nicht kompakter aber lokalkompakter Hausdorff-Raum, so ist die Banachalgebra der stetigen Funktionen auf seiner Alexandroff-Kompaktifizierung isometrisch isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen auf , die im Unendlichen verschwinden, nach Adjunktion eines Einslemenentes.[8]

Mehrpunkt-Kompaktifizierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bettet man einen topologischen Raum in einen kompakten Raum ein, der endlich viele Punkte mehr enthält, so spricht man von einer Mehrpunkt-Kompaktifizierung oder im Falle von zusätzlichen Punkten auch von einer -Punkt-Kompaktifizierung.[9] Diese Idee lässt sich weiter zu abzählbaren Kompaktifizierungen verallgemeinern.[10]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und ein topologischer Raum und ein kompakter Raum. Eine Kompaktifizierung

heißt -Punkt-Kompaktifizierung von , falls

gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für topologische Räume sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent[9]:

  • Der Raum besitzt eine -Punkt-Kompaktifizierung mit Hausdorff-Eigenschaft.
  • Der Raum ist ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und es existieren eine -elementige Familie nichtleerer paarweise disjunkte Teilmengen , sodass einerseits
kompakt ist und andererseits für jedes die Menge
nicht mehr kompakt ist.

Falls eine -Punkt-Kompaktifizierung besitzt, so besitzt insbesondere auch eine -Punkt-Kompaktifizierung für alle .

Eine -elementige Familie im Sinne obiger Charakterisierung nennt man auch einen -Stern. Jeder -Stern gibt Anlass zu einer -Punkt-Kompaktifizierung. Auf der Menge aller -Sterne lässt sich wie folgt eine Äquivalenzrelation definieren:

Zwei -Sterne und heißen äquivalent, falls
kompakt ist, für alle .

Es existiert eine 1-zu-1 Beziehung zwischen Äquivalenzklassen von -Sternen und -Punkt-Kompaktifizierungen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die affine Erweiterung der reellen Zahlen ist gerade die Zwei-Punkt-Kompaktifizierung von .[11] Da das Komplement jeder kompakten Teilmenge reeller Zahlen aus zwei Zusammenhangskomponenten besteht, besitzen die reellen Zahlen nur -Punkt-Kompaktifizierungen für .[9]
  • Die komplexen Zahlen und allgemeiner der euklidische mit besitzen keine -Punkt-Kompaktifizierung für .
  • Für jede natürliche Zahl existiert ein topologischer Raum, welcher eine -Punkt-Kompaktifizierung aber keine -Punkt-Kompaktifizierung für besitzt:
Man betrachte dazu die Strahlen
,
und deren Vereinigung
als topologischen Raum mit Teilraumtopologie. Für gilt dann
und ist für kein kompakt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Karsten Evers: Mengentheoretische Topologie. S. 83, abgerufen am 26. Dezember 2016 (Enthält unter anderem einen Satz über die Existenz von T2-Mehrpunktkompaktifizierungen).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Paul Alexandroff: Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 92, Nr. 3-4, 1924, S. 294–301, doi:10.1007/BF01448011.
  2. Heinrich Tietze: Beiträge zur allgemeinen Topologie. II. Über die Einführung uneigentlicher Elemente. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 91, Nr. 3-4, 1924, S. 210–224, doi:10.1007/BF01556079.
  3. René Bartsch: Allgemeine Topologie. de Gruyter, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 183 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 110 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Lynn Arthur Steen: Counterexamples in Topology. Courier Corporation, 1995, S.  63, ISBN 978-0-486-68735-3.
  6. James R. Munkres: Topology. Prentice Hall, 2000, S.  185, ISBN 978-0-131-78449-9.
  7. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-84064-6, S. 108 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  8. Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer Science & Business Media, 2008, ISBN 978-0-387-72476-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  9. a b c K. D. Magill, Jr.: N-Point Compactifications. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): The American Mathematical Monthly. Vol. 72, Nr. 10, 1965, S. 1075–1081, doi:10.2307/2315952.
  10. K. D. Magill, Jr.: Countable Compactifications. In: Canadian Mathematical Society (Hrsg.): Canadian Journal of Mathematics. Vol. 18, 1966, S. 616–620, doi:10.4153/CJM-1966-060-6.
  11. K. G. Binmore: The Foundations of Topological Analysis: A Straightforward Introduction. Cambridge University Press, 1980, ISBN 978-0-521-29930-5, S. 154 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).