Analytische Halbgruppe

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Eine analytische Halbgruppe, manchmal auch holomorphe Halbgruppe genannt, ist eine Familie von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum in sich, wobei ein komplexwertiger Sektor und ein Winkel ist. Analytische Halbgruppen sind eine Spezialform der stark stetigen Halbgruppen, welche in der Analysis benutzt werden, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie etwa der Wärmeleitungsgleichung zu beweisen.

Interessant ist die Untersuchung der analytische Halbgruppen vor allem wegen ihrer Glättungseigenschaften: So ist etwa die Lösung des zugeordneten Cauchyproblems stets unendlich oft differenzierbar in und liegt für positive stets in der Domain des Generators statt nur im Abschluss der Domain wie bei den stark stetigen Halbgruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Familie wird analytische Halbgruppe genannt, falls für einen Winkel folgendes gilt:

  • .
  • für alle .
  • die Abbildung ist auf analytisch.
  • die Abbildung ist auf für stark stetig.

Falls zusätzlich für jedes in beschränkt ist, wird beschränkte analytische Halbgruppe genannt (aber: eine beschränkte stark stetige Halbgruppe, die analytisch ist, ist im Allgemeinen keine beschränkte analytische Halbgruppe).

Infinitesimaler Erzeuger[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zu stark stetigen Halbgruppen betrachtet man den Operator mit

und

.

Der Operator wird (infinitesimaler) Erzeuger oder Generator genannt und ist dicht definiert und abgeschlossen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Spektrum eines Erzeugers
  • Erzeugt eine analytische Halbgruppe , dann
    • existieren und mit für alle . Ist die Halbgruppe beschränkt, kann gewählt werden.
    • existiert ein , so dass eine beschränkte analytische Halbgruppe erzeugt.
    • gilt für alle .
    • stimmt die inverse Laplace-Transformation der Resolvente mit der Halbgruppe überein, also für und einem geeigneten Weg in .
  • Erzeugt eine beschränkte analytische Halbgruppe , dann enthält die Resolventenmenge den Sektor für alle .
  • erzeugt genau dann eine beschränkte analytische Halbgruppe, wenn eine stark stetige Halbgruppe erzeugt mit für alle und (reelle Charakterisierung).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Erzeugt eine stark stetige Halbgruppe, so ist der Erzeuger einer analytischen Halbgruppe mit Winkel .
  • Ist ein Gebiet mit Dirichlet-regulärem Rand (etwa Lipschitz-Rand oder glatter Rand), so erzeugt der Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedingung, d. h. , eine beschränkte analytische Halbgruppe.

Das Cauchy-Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erzeugt eine beschränkte analytische Halbgruppe , so wird das abstrakte Cauchy-Problem

für den Anfangswert und einer Hölder-stetigen Funktion durch die Funktion

gelöst.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
  • Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
  • Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).