Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

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Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Objekt heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt der Kategorie genau einen Morphismus gibt.
  • Ein Objekt heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt der Kategorie genau einen Morphismus gibt.
  • Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Endobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
  • Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

  • Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
  • Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kategorien mit Nullobjekten - Nullmorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt , so gibt es zu je zwei Objekten und stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus , der die Verkettung von

ist. Genauer schreibt man , um die Abhängigkeit von und auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt nur für und .

Nullmorphismen in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von abbilden. Beispiele sind:

  • In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus auf das neutrale Element von abbildet, das heißt für alle .
  • In der Kategorie der Moduln über einem Ring ist der Nullmorphismus diejenige -lineare Abbildung, die jedes Element aus auf das Nullelement von abbildet, das heißt für alle .
  • In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus diejenige Abbildung, die jedes Element aus auf den ausgezeichneten Punkt abbildet, das heißt für alle . Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus , dieser ist als Differenzkern des Paares definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen