Annihilator (Mathematik)

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Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annihilator (oder auch Annullator) bezeichnet werden.

Annihilator im Kontext von Formen[Bearbeiten]

Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen der Dualraum nicht über ein Skalarprodukt mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

Definition[Bearbeiten]

Sei V ein Vektorraum, V^* der zugehörige Dualraum und S eine Teilmenge von V. Dann heißt

S^0=\lbrace f\in V^*\mid f(x)= 0 \mbox{ für alle } x \in S \rbrace \subseteq V^*

der Annihilator von S.

Eigenschaften des Annihilators[Bearbeiten]

  • S^0 ist ein Untervektorraum des Dualraums V^*. Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
  • S^0=\langle S\rangle^0, wobei \langle S\rangle der von S erzeugte Unterraum ist.
  • Ist S_1\subseteq S_2, so ist S_1^0\supseteq S_2^0.
  • Ist V endlichdimensional und U ein Unterraum von V, so gilt \dim U^0 = \dim V - \dim U. In diesem Fall sind V und der Bidualraum V^{**} kanonisch isomorph und es gilt \left(U^0\right)^0 = U, wobei V und V^{**} miteinander identifiziert wurden.

Annihilator eines Moduls[Bearbeiten]

Es sei A ein Ring und M ein A-Modul. Dann ist der Annihilator von M

\operatorname{Ann} M = \{a\in A\mid am=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ m\in M\}.

Man kann den Annihilator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

A\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}M, a\mapsto \ell_a, wobei \ell_a:M\rightarrow M die Linksmultiplikation mit a ist.

Der Annihilator ist ein Ideal in A.

Literatur[Bearbeiten]