Antiprisma

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Antiprisma mit einem Hexagon als Basisfläche
Oktaeder

Ein Antiprisma (Mehrzahl: Antiprismen) ist ein geometrischer Körper, der ein Vieleck als Grundfläche und ein gleichartiges Vieleck als Deckfläche hat, die zueinander parallel, aber verdreht sind. Diese beiden Flächen sind durch ein umlaufendes Band von Dreiecksflächen verbunden, deren Spitzen abwechselnd zur Grund- und zur Deckfläche weisen.

Antiprismen sind spezielle Polyeder. Sie ähneln Prismen und gehören ebenso wie diese zu den Prismatoiden. Im Unterschied zu Prismen haben sie jedoch doppelt so viele Mantelflächen (bei gleicher Eckenzahl) und die Mantelflächen sind Dreiecke anstatt Parallelogramme.

Besondere Antiprismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei geraden Antiprismen ist die Grund- und Deckfläche ein regelmäßiges n-Eck und 2n gleichschenklige Dreiecke bilden den Mantel. Die Mittelpunkte der Grund- und Deckflächen liegen genau übereinander und die Deckfläche ist um den Winkel gegenüber der Grundfläche gedreht. Bei geraden Antiprismen sind alle Ecken gleichartig. Die dualen Polyeder zu geraden Antiprismen sind Trapezoeder.

Ein uniformes Antiprisma hat zusätzlich die Bedingung, dass seine Mantelflächen gleichseitige Dreiecke sind. Ein Beispiel dafür ist das Oktaeder, das sich (auch) als ein uniformes Antiprisma mit dreieckiger Grundfläche beschreiben lässt.

Das diagonale Antiprisma, auch Disphenoid genannt, ist ein entarteter Sonderfall, bei dem die Grund- und Deckfläche zu einem Zweieck reduziert ist. Ein uniformes diagonales Antiprisma ist ein regelmäßiges Tetraeder.

Beispiele für uniforme Antiprismen:

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kartesische Koordinaten für die Ecken eines geraden Antiprismas mit n-eckiger Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken sind

wobei k Werte von 0 bis 2n−1 annimmt; wenn die Dreiecke gleichseitig sind, ist

Volumen und Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kantenlänge eines uniformen n-eckigen Antiprismas sei mit a gegeben. Dann ist sein Volumen

und seine Oberfläche

Netz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Netz von Antiprismen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist, zunächst ein Band von Dreiecken für den Mantel zu definieren und an dieses Band dann die Grund- und Deckfläche anzufügen. Zwei andere Möglichkeiten zeigen die folgenden Grafiken.

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Antiprismen finden sich unter anderem als Koordinationspolyeder in Kristallstrukturen und Komplexverbindungen, als Kapside von Viren, und in Walzenwürfeln.

In der Architektur wird das Antiprisma gelegentlich eingesetzt. Das One World Trade Center in New York City hat hauptsächlich die Form eines langgezogenen quadratischen Antiprismas, wobei allerdings das obere Quadrat kleiner als das untere ist. Der Diagonal Tower in Seoul besteht aus drei aufeinandergestellten quadratischen Antiprismen. Sein Design soll die entstehenden Windkräfte reduzieren und zugleich Materialersparnis einbringen.[1][2]

Gerüste aus Stäben oder Rohren, die die Kanten von Antiprismen bilden, sind um die Hauptachse um vieles torsionssteifer und knickfester als entsprechende Prismen, weshalb sie gerne als Podeste im Zirkus verwendet werden.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. SOM: diagonal tower yongsan international business district
  2. Diagonal Tower, Yongsan International Business District

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Antiprismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Antiprisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen