Apéry-Konstante

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Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

 \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3} = \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots

definiert ist. Das ist der Wert  \zeta(3) der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes[Bearbeiten]

Ein Näherungswert ist

\zeta(3) = 1,20205\text{ }69031\text{ }59594\text{ }28539\text{ }97381\text{ }61511\text{ }44999\text{ }07649\text{ }86292\text{ }34049\text{ }... (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand 17. November 2010) sind 1011 dezimale Nachkommastellen bekannt.[1]

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet.[2] Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.[3] Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist[4] oder ob ζ(3)/π3 irrational ist[5] (mit Kreiszahl π). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen ζ(2n+1), n = 1, 2, 3 …, irrational sein,[6] dabei mindestens eine von ζ(5), ζ(7), ζ(9) und ζ(11).[7]

Für das Irrationalitätsmaß r(ξ) = inf R, wobei R die Menge der positiven reellen Zahlen r ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen p und q mit 0 < |ξ−p/q| < 1/qr existieren, sind die Schranken 2 ≤ r(ζ(3)) < 5,513891 bekannt,[8] insbesondere ist ζ(3) nicht liouvillesch.

Der Kehrwert 1/ζ(3) = 0,83190 73725 80707 46868 … (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass n ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit 1/ζ(n k) keine k-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.[9]

Reihendarstellungen[Bearbeiten]

Apéry verwendete die Formel

\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}}.

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

\zeta(3) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}

mit den harmonischen Zahlen H_n. Zahlreiche verwandte Formeln wie

\zeta(3) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{ij(i+j)}

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.[10] Aus \zeta(z)/2^z = \lambda(z)/(2^z-1) = \eta(z)/(2^z-2) mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} = \frac{4}{3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3}.

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):[11][12]

 \zeta(3) = \frac1{24} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{A(n)\cdot (2n+1)!^3 \cdot (2n)!^3 \cdot n!^3}{(3n+2)! \cdot (4n+3)!^3}

mit A(n) = 126392 n^5 + 412708 n^4 + 531578 n^3 + 336367 n^2 + 104000 n + 12463.

Nach Matyáš Lerch (1900):[13]

\zeta(3) =  \frac{7\pi^3}{180} - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n}-1)}.

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:[14]

\zeta(3) = \frac{\pi^3}{28} + \frac{16}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}+1)} - \frac{2}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}+1)}
\zeta(3) = 28 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}-1)} - 37 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)} + 7 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{4\pi n}-1)}.

Weitere Formeln[Bearbeiten]

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

 \zeta(3) = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-3}}

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).[15]

Auch existieren verschiedene Integraldarstellungen. Beispiele sind:

 \zeta(3) = \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \frac{\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z}{1 - xyz}
 \zeta(3) = \frac{1}{2} \int \limits_0^\infty \frac{x^2}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x.
 \zeta(3) = \frac{2}{3}\pi ^3\int_0^1 x(x-\frac{1}{2})(x-1)\cot (\pi x)\mathrm{d}x. [16]

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

 \zeta(3) = - \frac{1}{2}\psi_2(1).

Literatur[Bearbeiten]

  • Frits Beukers: A note on the irrationality of \zeta(2) and \zeta(3). Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch)
  • Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF-Datei, 205 kB)
  • Steven R. Finch: Apéry’s constant, Kapitel 1.6 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Large Computations von Alexander J. Yee, 17. September 2010 (englisch)
  2. Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21)
  3. Roger Apéry: Irrationalité de \zeta(2) et \zeta(3). Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch)
  4. David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random generators and normal numbers (PDF-Datei, 399kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch)
  5. Finch: Apéry’s constant, 2003, S. 41 (englisch)
  6. Tanguy Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arXiv:math/0008051v1)
  7. W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch)
  8. Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3), Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch)
  9. ITEM 53 (Salamin) aus M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM, MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch)
  10. Walther Janous: Around Apéry’s constant, Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch)
  11. Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method, The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch)
  12. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places im Project Gutenberg (englisch)
  13. Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument, Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung)
  14. Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2) von Simon Plouffe, April 2006 (englisch)
  15. Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas (25. April 1737), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174f.)
  16. Abramowitz-Stegun: Abramowitz and Stegun Webversion, Seite 807, Formel 23.2.17

Weblinks[Bearbeiten]