Apéry-Konstante

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Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

definiert ist. Das ist der Wert der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Näherungswert ist

(Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand Dezember 2015) sind 400 Milliarden dezimale Nachkommastellen bekannt.[1]

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet.[2] Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.[3] Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist[4] oder ob irrational ist[5] (mit Kreiszahl π). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen irrational sein,[6] dabei mindestens eine von und .[7]

Für das Irrationalitätsmaß , wobei die Menge der positiven reellen Zahlen ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen und mit existieren, sind die Schranken bekannt,[8] insbesondere ist nicht liouvillesch.

Der Kehrwert (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit keine -te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.[9]

Reihendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Apéry verwendete die Formel

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

mit den harmonischen Zahlen . Zahlreiche verwandte Formeln wie

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.[10] Aus mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):[11][12]

mit .

Nach Matyáš Lerch (1900):[13]

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:[14]

Weitere Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).[15]

Es gibt auch einige Integraldarstellungen, zum Beispiel:

[16]

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Frits Beukers: A note on the irrationality of and . Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch).
  • Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).
  • Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Alexander J. Yee: Zeta(3) – Apery’s Constant.
  2. Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21).
  3. Roger Apéry: Irrationalité de et . Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch).
  4. David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random Generators and Normal Numbers. (Memento vom 13. Oktober 2003 im Internet Archive). (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch).
  5. Finch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch).
  6. Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1).
  7. W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).
  8. Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch).
  9. M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).
  10. Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).
  11. Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method. (Memento vom 30. April 2011 im Internet Archive). The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch).
  12. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Im Project Gutenberg (englisch).
  13. Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
  14. Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).
  15. Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).
  16. Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.