Approximationsalgorithmus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein Approximationsalgorithmus ist in der Informatik ein Algorithmus, der ein Optimierungsproblem näherungsweise löst.

Viele Optimierungsprobleme lassen sich mit exakten Algorithmen vermutlich nicht effizient lösen. Für solche Probleme kann es sinnvoll sein, wenigstens eine Lösung zu finden, die einer optimalen Lösung möglichst nahe kommt.

Güte von Approximationsalgorithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei der zu einer Eingabe gehörige Lösungsraum. Zu jeder möglichen Lösung sei die Güte. Die Güte einer optimalen Lösung sei . Ein Approximationsalgorithmus sucht nun nach einer Lösung , so dass möglichst nah an liegt.

Die Güte eines Approximationsverfahrens ist definiert durch das Verhältnis von approximierter Lösung zur exakten Lösung. Die Güte einer Lösung wird bestimmt durch:

Diese Definition der Güte kann sowohl auf Minimierungs- wie auch auf Maximierungsprobleme angewandt werden. Es gilt immer . Gilt , liefert der Algorithmus immer die optimale Lösung.

Klassen von Approximationsalgorithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Optimierungsprobleme werden in der Theoretischen Informatik in verschiedene Approximationsklassen unterschieden, je nachdem welcher Grad an Approximation möglich ist:

APX[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abkürzung APX steht für approximable und deutet an, dass das Optimierungsproblem, zumindest bis zu einem gewissen Grad, effizient approximierbar ist. Ein Problem liegt in der Klasse APX, wenn ein polynomieller Algorithmus existiert, der bei jeder zulässigen Eingabe eine Lösung mit einer Güte , mit konstant, liefert.

PTAS/PAS[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

PTAS oder PAS steht für polynomial time approximation scheme. Anders als bei der Klasse APX wird hier für jedes gefordert, dass ein polynomialer Algorithmus existiert, der bei jeder zulässigen Eingabe eine Lösung mit einer Güte liefert. Der Algorithmus muss also nicht nur für eine bestimmte Güte, sondern für jede Approximationsgüte effizient sein.

FPTAS[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

FPTAS steht für fully polynomial time approximation scheme. Hier wird gefordert, dass sich der Algorithmus nicht nur polynomiell zur Eingabe, sondern auch zur Güte der Approximation verhält. Dass es also zu jeder Eingabe und jedem eine Lösung mit der Güte gibt, wobei der Algorithmus polynomiell in und ist.

Es gilt:

Unter der Annahme sind die obigen Inklusionsabbildungen echte Inklusionen. Das heißt, es gibt zum Beispiel mindestens ein Optimierungsproblem, das in der Klasse PTAS liegt, aber nicht in der Klasse FPTAS. Unter dieser Annahme existiert auch mindestens ein Optimierungsproblem, das nicht in APX liegt. Dies lässt sich unter der Annahme zum Beispiel für das Cliquenproblem zeigen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rolf Wanka: Approximationsalgorithmen - Eine Einführung, Teubner, Wiesbaden, 2006, ISBN 3-519-00444-5
  • Klaus Jansen, Marian Margraf: Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit, de Gruyter, Berlin, New York, 2008, ISBN 978-3-11-020316-5

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]