Arbelos

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Das namengebende Schustermesser

Der Arbelos (griechisch Arbylos Άρβυλος für Schustermesser) oder die Sichel des Archimedes ist eine spezielle, von drei Halbkreisen begrenzte geometrische Figur. Der berühmte griechische Mathematiker Archimedes soll die Eigenschaften des Arbelos untersucht und in seinem Buch der Lemmata beschrieben haben.

Sichel des Archimedes

Der zusätzlich in die Skizze eingezeichnete Kreis stimmt im Flächeninhalt mit dem Arbelos überein.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man zeichne das Hilfsdreieck . Die Seite ist die Hypotenuse des Dreiecks, bestehend aus den Abschnitten und . Nach dem zweiten Satz des Euklid ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks gleich dem Produkt der beiden Hypotenusen-Abschnitte:

Der Kreis, dessen Durchmesser durch und geht, habe den Radius . Die Höhe des Dreiecks ist also . Die Strecke ist der Durchmesser des großen Halbkreises. Nennt man den Radius des kleineren Halbkreises und denjenigen des kleinsten Halbkreises , so ist . Der Radius des großen Halbkreises ist demnach die Hälfte von , also .

Nach dem Höhensatz des Euklid gilt: , also .

Mit algebraischen Methoden (also abstraktem Ausrechnen – diese standen den Griechen noch nicht zur Verfügung) sieht man schnell, dass die Behauptung stimmt (man gewinnt jedoch keinerlei Einsichten, warum das so ist). Der Flächeninhalt des Arbelos ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises minus dem Flächeninhalt der beiden kleinen Halbkreise:

Der Flächeninhalt des Kreises, der durch und geht, ist . Wie oben gezeigt, gilt nach dem zweiten Satz des Euklid . Es kann also in der Formel für den Flächeninhalt des Arbelos statt nunmehr eingesetzt werden, somit ergibt sich:

.

Damit ist bewiesen, dass der Flächeninhalt des Arbelos gleich demjenigen des Kreises ist, der durch und geht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arbelos-Skulptur in Kaatsheuvel, Niederlande

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Johnson, R. A.: Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Houghton Mifflin, S. 116-117, Boston 1929.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Arbelos – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien