Archimedischer Kreis

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Zwillingskreise des Archimedes. Der große Halbkreis hat den Durchmesser 1, BC = 1-r, und AB = r = AB/AC

In der Geometrie ist ein Archimedischer Kreis ein mithilfe eines Arbelos konstruierbarer Kreis, der kongruent zu den Zwillingskreisen des Archimedes ist. Der Radius eines solchen Kreises ist gegeben durch

,

wobei das in der Abbildung (rechts) dargestellte Verhältnis der Durchmesser der beiden unteren Halbkreise des Arbelos ist.

Es sind über 60 verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten archimedischer Kreise bekannt.[1]

Die ersten Konstruktionen archimedischer Kreise sind die im, dem griechischen Mathematiker Archimedes zugeschriebenen, Buch der Lemmata konstruierten Zwillingskreise.

Beispiele archimedischer Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bankoff triplet circle (blau) Bankoff quadruplet circle (blau)
Bankoff triplet circle (blau)
Bankoff quadruplet circle (blau)
Schoch-Gerade (cyanfarben) und Schoch-Kreis W15 Schoch-Kreis W15 (hellgrün) und Beispiel eines Woo-Kreises (darüber)
Schoch-Gerade (cyanfarben) und Schoch-Kreis W15
Schoch-Kreis W15 (hellgrün) und Beispiel eines Woo-Kreises (darüber)
Power-Kreise

Bankoff-Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der amerikanische Zahnarzt und Mathematiker Leon Bankoff entdeckte in den Jahren 1954 und 1974 die nach ihm benannten Bankoff-Kreise. Da diese nach den archimedischen Zwillingen historisch der dritte und der vierte der archimedischen Kreise waren, werden sie im Englischen auch Bankoff triplet circle (auf Deutsch etwa: „Bankoffs Drillings-Kreis“) und Bankoff quadruplet circle („Bankoffs Vierlings-Kreis“) genannt.

Schoch-Kreise und Schoch-Gerade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1978 entdeckte der Deutsche Thomas Schoch ein Dutzend weiterer archimedischer Kreise, die so genannten Schoch-Kreise, die 1998 publiziert wurden.[2][3] Zudem konstruierte er die Schoch-Gerade.[4] Diese wird mithilfe zweier weiterer Kreise mit Mittelpunkt beziehungsweise ( und ) und dem größten Halbkreis des Arbelos () konstruiert. Tangential zu diesen Bögen wird der Kreis mit Mittelpunkt konstruiert. Die Lotgerade durch auf ist die Schoch-Gerade.

Woo-Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Peter Y. Woo gelang es mithilfe der Schoch-Geraden, eine Familie unendlich vieler archimedischer Kreise zu finden, die so genannten Woo-Kreise.[5] Er zeigte: ist eine positive reelle Zahl und werden zwei sich in tangierende Kreise mit Mittelpunkt auf der Grundlinie des Arbelos und dem -fachen Radius der beiden kleineren Arbelos-Kreise konstruiert (in der Abbildung der rote und der blaue Kreis), so ist der tangential zu diesen beiden Kreisen liegende Kreis mit Mittelpunkt auf der Schoch-Geraden kongruent zu den archimedischen Zwillingskreisen, also ein archimedischer Kreis.

Power-Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Sommer 1998 präsentierte Frank Power vier weitere archimedische Kreise, die so genannten Power-Kreise, die im Englischen auch als Archimedes’ quadruplets bezeichnet werden.[6] Sie werden folgendermaßen konstruiert: Sind und die Radien der beiden kleinen Arbelos-Kreise, der Mittelpunkt des Halbkreises mit Radius , der senkrecht zu über auf dem Kreis liegende Punkt, und der Mittelpunkt der Strecke , so sind die beiden in tangierenden Kreise, die zudem den äußeren Arbelos-Kreis tangieren, zwei der vier Power-Kreise. Die beiden anderen Power-Kreise werden analog mit dem Halbkreis mit Radius konstruiert.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Online catalogue of Archimedean circles. home.wxs.nl, abgerufen am 14. Dezember 2015 (englisch).
  2. Thomas Schoch: A Dozen More Arbelos Twins. In: retas.de. Biola University, Januar 1998, abgerufen am 14. Dezember 2015 (englisch).
  3. Clayton Dodge, Thomas Schoch, Peter Woo, Paul Yiu: Those Ubiquitous Archimedean Circles. In: retas.de. Biola University, Juni 1999, abgerufen am 14. Dezember 2015 (PDF; 895 KB, englisch).
  4. Floor van Lamoen: Schoch Line. In: MathWorld (englisch).
  5. Thomas Schoch: Arbelos – The Woo Circles. In: retas.de. Biola University, 2007, archiviert vom Original am 14. August 2014, abgerufen am 14. Dezember 2015 (englisch).
  6. Frank Power: Some More Archimedean Circles in the Arbelos. In: forumgeom.fau.edu. Florida Atlantic University, 2. November 2005, abgerufen am 14. Dezember 2015 (PS; 112 KB, englisch).