Archimedisches Axiom

Veranschaulichung des archimedischen Axioms: Egal wie klein die Strecke $x$ ist, wenn man diese Strecke nur hinreichend oft aneinander legt, wird die Gesamtlänge größer als die der Strecke $y.$

Das archimedische Axiom, benannt nach dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes, beschreibt eine Eigenschaft, die bestimmte algebraische Strukturen wie geordnete Gruppen oder Körper aufweisen können; die Eigenschaft selbst wird auch als Archimedizität bezeichnet. Eine geordnete algebraische Struktur, in welcher das archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch (geordnet) und ansonsten nichtarchimedisch. Das bedeutendste Beispiel für einen archimedischen Körper ist der Körper der reellen Zahlen, für den das Axiom folgendes besagt:

Zu je zwei reellen Zahlen $y>x>0$ existiert eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n\cdot x>y$.

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug hintereinander abträgt. Das Axiom sichert somit die Möglichkeit des Messens einer Strecke durch eine andere.

Neben den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ bilden auch die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ einen archimedisch angeordneten Körper, jedoch unterschieden sich die beiden Zahlbereiche hinsichtlich der Vollständigkeit: $\mathbb {R}$ ist im Wesentlichen der einzige archimedisch angeordnete, vollständige Körper.

Für den Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen wird das archimedische Axiom manchmal axiomatisch eingeführt, was die Bezeichnung „Axiom“ rechtfertigt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind. In diesem Kontext ist das archimedische Axiom dann ein mathematischer Satz und wird deshalb gelegentlich in Anführungszeichen gesetzt (Archimedisches „Axiom“) oder als Satz des Archimedes bezeichnet.

Geschichte und Namensherkunft

Das archimedische Axiom geht auf die geometrische Größenlehre der antiken griechischen Mathematik zurück. Archimedes von Syrakus nennt es in seiner Schrift Über Kugel und Zylinder (ca. 225 v. Chr.) als 5. Axiom. Im Vorwort zu seiner Quadratur der Parabel erwähnt er, dass „auch die früheren Geometer sich dieses Hilfssatzes bedient [haben]“, womit er vermutlich insbesondere Eudoxos von Knidos (4. Jhd. v. Chr.) meinte. Eudoxos formulierte das Prinzip in seiner Proportionenlehre, welche Eingang fand in die Elemente des Euklid (ca. 300 v. Chr.), des bedeutendsten Mathematik-Lehrbuchs der Antike. Euklid gibt in den Elementen in Buch 3 Proposition 16 auch ein explizites Beispiel für Größen, die das archimedische Axiom nicht erfüllen, sogenannte Hornwinkel, die von sich berührenden gekrümmten Kurven gebildet werden, in Euklids Beispiel von einem Kreis und seiner Tangente.

Der Mathematiker Otto Stolz schlug mit Bezug auf Archimedes’ Über Kugel und Zylinder erstmals 1881 den Namen „Axiom des Archimedes“ vor und stellte seine Bedeutung für die Arithmetik heraus. Obwohl er die vorherige Verwendung des Prinzips unter anderem von Eudoxos explizit erwähnte, wurde der Begriff rasch übernommen und verbreitete sich nicht zuletzt durch David Hilberts Verwendung bei seiner axiomatischen Grundlegung der Geometrie. Zur Würdigung von Eudoxos werden gelegentlich äquivalente Formulierungen der Aussage als Satz von Eudoxos oder ähnlich bezeichnet.

Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper

Es sei $x>0.$

Behauptung: Für jedes $y>x$ gibt es eine natürliche Zahl $n$, so dass $n\cdot x>y$ gilt.

Gegenannahme: Es gibt ein $y>x$, so dass $n\cdot x\leq y$ für alle natürlichen Zahlen $n.$

Aus der Gegenannahme folgt, dass $y$ für alle natürlichen Zahlen $n$ eine obere Schranke für $n\cdot x$ ist. Mit dem Supremumsaxiom folgt daraus die Existenz einer kleinsten oberen Schranke $y_{0}$. Gilt aber $n\cdot x\leq y_{0}$ für alle natürlichen Zahlen $n$, so gilt auch $\left(n+1\right)x\leq y_{0}$ und somit auch $n\cdot x\leq y_{0}-x$ für alle natürlichen Zahlen $n$. Dann ist aber auch $y_{0}-x$ eine obere Schranke für $n\cdot x$. Wegen $y_{0}-x<y_{0}$ ist also $y_{0}$ keine kleinste obere Schranke, was im Widerspruch zur Definition von $y_{0}$ steht. Somit muss die Gegenannahme falsch sein und die Behauptung ist bewiesen.

Folgerungen aus dem archimedischen Axiom

Zu jeder Zahl $x\in \mathbb {R}$ gibt es $n_{1},n_{2}\in \mathbb {N}$, so dass $n_{1}>x$ und $-n_{2}<x$. Daraus folgt: Zu jedem $x\in \mathbb {R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit

$n\leq x<n+1.$

Dabei wird $n$ mit $\lfloor x\rfloor$ oder $\operatorname {floor} (x)$ bezeichnet (siehe Gaußklammer). Ebenso existiert eine eindeutig bestimmte Zahl $m\in \mathbb {Z}$ mit

$m-1<x\leq m$

welche mit $\lceil x\rceil$ oder $\operatorname {ceil} (x)$ bezeichnet wird.

Für alle $\varepsilon >0$ existiert eine natürliche Zahl $n$ mit $n>1/\varepsilon$ und daher umgekehrt $1/n<\varepsilon$. In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die Konvergenz oder Divergenz von Folgen nachzuweisen. Die zweite Ungleichung (gelegentlich auch als Satz des Eudoxos bezeichnet) bedeutet, dass es keine kleinste positive reelle Zahl gibt, da sich stets eine kleinere finden lässt. Daraus folgt aber auch, dass es (außer Null) keine unendlich kleinen reellen Zahlen gibt, denn eine unendlich kleine Zahl müsste kleiner als jede (endliche) reelle Zahl sein.

Weiterhin folgt aus dem archimedischen Axiom, dass es für zwei reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ immer eine rationale Zahl $q\in \mathbb {Q}$ mit $a<q<b$ gibt, das heißt, dass die rationalen Zahlen dicht in $\mathbb {R}$ liegen.

Eine äquivalente Formulierung des archimedischen Axioms (gelegentlich aus als Satz des Archimedes bezeichnet) lautet: Zu jedem $x\in \mathbb {R}$ gibt es eine natürliche Zahl, die größer als $x$ ist. Es gibt also keine reelle Zahl, die größer als alle natürlichen Zahlen ist, und das bedeutet, dass die Menge der natürlichen Zahlen im Körper $\mathbb {R}$ nicht nach oben beschränkt ist.

Archimedisch geordnete abelsche Gruppen

Eine geordnete abelsche Gruppe ist eine Gruppe mit einer kommutativen Verknüpfung $+$ und einer mit der Gruppenstruktur verträglichen Ordnungsstruktur $\leq$. Die Ordnungsrelation muss als solche reflexiv (für alle $x\in G$ gilt $x\leq x$) und transitiv (aus $x\leq y\leq z$ folgt $x\leq z$) sein; als Gruppenverträglichkeit bezeichnet man die Eigenschaft, dass für alle $x,y,z\in G$

$x+z\leq y+z$ aus $x\leq y$ folgt.

Eine geordnete abelsche Gruppe ist archimedisch geordnet, wenn gilt:

Zu je zwei Elementen $x$ und $y$ der Gruppe mit $y>x>0$ existiert eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n\cdot x>y$.

Satz von Hölder

Jede archimedisch geordnete Gruppe $G$ ist kommutativ und isomorph zu einer additiv geordneten Untergruppe von $\mathbb {R}$.

Dabei ist für ein $g\in G$ mit $g>0$ und additiv geschriebener Gruppenverknüpfung die Abbildung

$x\mapsto r=\sup \,{\Bigl \{}\,{\frac {z}{n}}\,{\Big |}\,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} ,z\cdot g<n\cdot x\,{\Bigr \}}$

ein Isomorphismus von $G$ in eine additive geordnete Untergruppe von $\mathbb {R}$, wobei $n\cdot x=\underbrace {x+x+\dotsb +x} _{n{\text{-mal}}}$ für $x\in G$ und $n\in \mathbb {N}$ und $z\cdot g=-z\cdot (-g)$ für $z\in \mathbb {Z}$ und $z<0$.

Das Element $g$ kann dabei als Einheit verwendet werden, mit dem jedes Gruppenelement $x$ gemessen werden kann. Das bedeutet, für jedes Element $x$ der Gruppe existiert ein $r\in \mathbb {R}$ so, dass $x=r\cdot g$.

Beispiel: Die Intervalle in der Musiktheorie bilden eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe und können alle mit der Einheit Oktave oder Cent gemessen werden. Siehe: Tonstruktur.

Klassifizierung: Entweder ist eine archimedisch geordnete Gruppe $G$ von der Form $G={0}$ oder $G=\{\dots ,-3a,-2a,-a,0,a,2a,3a,\dots \}$ (isomorph zu der additiven Gruppe der ganzen Zahlen) oder es gibt kein kleinstes Element, was im Folgenden präzisiert wird.

Zu jedem Element $a>0$ gibt es ein $b$ mit $0<2b<a$. (Gibt es nämlich kein minimales positives $a$, dann gibt es zu jedem $a>0$ sicher ein $c$ mit $0<c<a$. Falls $2c<a$ kann man $b=c$ wählen. Falls $2c=a$ gibt es ein $b$ mit $0<2b<2c=a$ und falls $2c>a$ gilt für $b=a-c$ die Ungleichung $0<2b=2a-2c<2a-a=a$.)

Nichtarchimedisch angeordnete Körper

Ein Beispiel für einen angeordneten Körper, in dem das Axiom des Archimedes nicht gilt, ist der Körper der hyperreellen Zahlen, der in der Nichtstandardanalysis untersucht wird. In diesem Körper gibt es im Gegensatz zu den reellen Zahlen vom Betrag her unendlich kleine Zahlen $x\neq 0$, die sogenannten Infinitesimalzahlen.

Ein einfacheres Beispiel besteht aus den rationalen Funktionen $R(x)$ über dem rationalen (oder dem reellen) Zahlenkörper, die so geordnet werden, dass $x$ größer ist als alle Zahlen (das geht auf eindeutige Weise).

Literatur

• Michael Deveau, Holger Teismann: 72 + 42: Characterizations of the Completeness and Archimedean Properties of Ordered Fields. In: Real Analysis Exchange. Band 39, Nr. 2, 2013/2014, S. 261–304 (projecteuclid.org).

Weblinks

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Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Archimedisches Axiom – Lern- und Lehrmaterialien