Die mathematische Funktion arctan2, auch atan2, ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens.
Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente, im Gegensatz zum normalen Arkustangens, welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat. Damit hat sie genügend Information, um den Funktionswert in einem Wertebereich von
(also allen vier Quadranten) ausgeben zu können, und muss sich nicht (wie der normale Arkustangens) auf zwei Quadranten beschränken. Der volle Wertebereich wird häufig benötigt, beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten: wenn der Funktion
[1]
die beiden kartesischen Koordinaten
als Argumente gegeben werden, erhält man den Polarwinkel
, der sich im richtigen Quadranten befindet, d. h. der die Beziehungen
und
mit

erfüllt. Ein mathematisch nützlicher Zusatzeffekt ist, dass Winkel, bei denen der Tangens eine Polstelle hat, nämlich die Winkel
durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden können, nämlich durch
anstatt
Das kommt von der Definitionsmenge
der Funktion
der „gelochten“ Ebene, welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe
der komplexen Zahlen ohne die Null. Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe
der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor größer Null, der multiplikativen Gruppe
Erstere Gruppe lässt sich durch den Polarwinkel
parametrisieren, zweitere durch den (positiven) Betrag
Zwei vom Ursprung
verschiedene Punkte
und
spezifizieren denselben Polarwinkel, wenn sie auf demselben Strahl durch
liegen. Dann sind sie bezüglich der durch
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definierten Relation äquivalent.[2]
Dagegen ist der Tangenswert von Polarwinkeln auch dann derselbe, wenn der Strahl um
oder
, also genau in den Gegenstrahl, weitergedreht ist. Informationstheoretisch betrachtet lässt der Tangens die Vorzeicheninformation von
(rot in den Formeln) unter den Tisch fallen:
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man nehme nur
.
Abb. 1: Graph der Arkustangensfunktion
Da der Tangens mit
periodisch ist und der Funktionsbegriff Rechtseindeutigkeit verlangt, muss für seine Umkehrung (Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden) sein Definitionsbereich mindestens auf die Periodenlänge eingeschränkt werden – in diesem Artikel auf das Intervall
(s. Abb. 1). Das hat zur Folge, dass die Umkehrfunktion Arkustangens kein größeres Bild als
haben kann. Dabei ist die ganze reelle Achse
als Definitionsbereich des Arkustangens zulässig, weil das Bild des Tangens unter
gerade
ist.
Um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, gibt es in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo
(bspw. im Intervall
wie der Abb. 3) und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können.
Die erste Implementierung war nicht später als im Jahr 1966 in der Programmiersprache Fortran.[3] Heute ist die Funktion auch in anderen Programmiersprachen vorhanden.
Die Funktion hat häufig den Namen
, so bei den Programmiersprachen Fortran 77[4], C, C++, Java, Python, Matlab, R, iWork Numbers[5], LibreOffice Calc[6]. In vielen dieser Programmiersprachen (nicht bspw. bei LibreOffice Calc) ist die Reihenfolge der Argumente umgekehrt, also die
-Koordinate das erste Argument – und das, obwohl es hier auf die Polarachse, die üblicherweise mit der
-Achse identifiziert wird, in ganz besonderem Maße ankommt.
Denn es hat
gleich Null zu sein für genau die Punkte
auf dieser Achse.
Deshalb sollte es, wenn es um die übliche
-Ebene geht, bei der Erstnennung der
-Achse bleiben; die
-Achse ergänzt dabei nur noch die Richtung, in welche der Polarwinkel zunimmt.
In Common Lisp, wo optionale Argumente existieren, erlaubt die
-Funktion, die
-Koordinate als optionales zweites Argument zu übergeben,[7] wobei die Standardannahme
ist.
Ein weiterer vorkommender Name ist
, so bei den Tabellenkalkulationen Excel[8] und OpenOffice Calc.
In Mathematica ist eine Funktion
definiert, bei der das erste Argument
weggelassen werden kann.
- Zur Beachtung
- In diesem Artikel wird die Reihenfolge
und der Name
verwendet.
Die sechs Fälle der Funktionsdefinition
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oder  |
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für  |
(Quadranten und )
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für  |
(Quadrant )
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für  |
(oberer[9]⁄unterer Rand der Bildmenge)
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für  |
(Quadrant )
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für
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 |
für
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Abb. 2: 5 Punkte ● (Halbgeraden, Strahlen) in der (x|y)-Ebene und ihr

-Hauptwert
mit
als der „gelochten“ Ebene lassen sich zur Formel

vereinigen.
Die Funktion ist bis auf den Fall
(die Sprungstelle, s. u.) punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln:
.
Dem Argument
wird manchmal der Funktionswert
zugeordnet, wie auch andere Sonderfälle, bspw. Not a Number, unterschiedlich behandelt werden.
Der Genauigkeitsverlust der Division
wegen lässt sich für
bspw. durch die Umformung

verringern (s. jedoch auch den Abschnitt #Genauigkeitskontrolle).
Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des Polarwinkels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abb. 3: Graph von

über

für

.

-Ziel- =

-Quell-Quadrant mit blauer römischer Ziffer.
Bei zunehmendem Polarwinkel
, das heißt bei einer Drehung im mathematischen Sinn (und entgegen dem Uhrzeigersinn), also der Wanderung vom Quadranten
über die Quadranten
[10] und
zum Quadranten
, beginnt eine Periode in der Abb. 3 unten am (Strahl durch den) Punkt[11]
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,
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von wo es auf dem roten Graphen von links unten nach rechts oben (immer in „ONO-Richtung“) weitergeht. Wie üblich soll in der Nähe der Null
infinitesimal unterhalb und
infinitesimal oberhalb bedeuten. Die Drehung führt weiter in den Quadranten
über den (auf der 1. Winkelhalbierenden liegenden und in der Abb. durch eine kleine rote Kreisfläche markierten) Punkt
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,
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zum Punkt
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,
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der einer der Polstellen
des Tangens entspricht und deshalb für den Arkustangens
ein unendlich ferner Punkt ist. Der
-Wert wechselt von
nach
. Diesen Sachverhalt symbolisiert die Abb. 3 mit dem roten Kringel rechts im Quadranten
als Senke und dem roten Knubbel links im Quadranten
als Quelle. Aus Sicht der Funktion
geschieht aber nichts weiter, als dass der
-Wert sich von
zu
ändert.
Die weitere Drehung führt durch den Quadranten
über den markierten Punkt
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zum Punkt
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,
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der im Koordinatenursprung liegt, und von dort durch den Quadranten
über den markierten Punkt
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,
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zum Punkt
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.
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Dieser Punkt entspricht der anderen Polstelle
des Tangens. Bei ihm findet dasselbe Zusammenfallen der Senke im Quadranten
mit der Quelle im Quadranten
statt wie oben beim Argument
. Die weitere Drehung durch den Quadranten
führt über den markierten Punkt
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schließlich zur Sprungstelle
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.
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Dieser Fall kann durch leichte Abwandlung der Bedingungen in der Formel
entweder dem Fall in der Zeile darüber oder dem darunter zugeschlagen werden, wonach das Intervall der Bildmenge an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist, also
, oder eben umgekehrt
.
Hat die Berechnung des Polarwinkels eine kontinuierliche Drehung zu begleiten, dann kann die Funktion so angepasst oder erweitert werden, dass
- die Sprungstelle an einem beliebigen Punkt (einem beliebigen Strahl) des Definitionsbereichs
liegt;
- auch bei einer Drehung über die Periodenlänge
hinaus der Polarwinkel kontinuierlich zu- bzw. abnimmt. Hier kommt die Umlaufzahl ins Spiel.
Beispielsweise können in Anwendungen, bei denen es auf die Stetigkeit innerhalb einer Halbebene ankommt, folgende Formeln nützlich sein:
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für  |
(Quadranten und )
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für  |
(Quadranten und )
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für  |
(Quadranten und )
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für  |
(Quadranten und )
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für  |
(Quadranten und )
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für  |
(Quadranten und )
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 |
 |
für  |
(Quadranten und )
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Die 7 Zeilen sind so angeordnet, dass die Werte zweier über einander stehender Funktionen im gemeinsamen Definitionsgebiet übereinstimmen. Wegen der Sprungstelle von
beim Strahl
ist Gleichheit mit einer der stetigen Funktionen
nicht möglich.
Die präzise mathematische Darstellung der folgenden wohlbekannten Abbildung bedarf sowohl auf der Urbild- wie auf der Bild-Seite zusätzlicher Hilfsabbildungen.
Auf der Definitionsmenge
von
kann man (in Analogie zur Definition der Addition in den rationalen Zahlen) die Verknüpfung

definieren.[12] Sie bleibt wohldefiniert unter der obigen Äquivalenzrelation
, und die Faktormenge

erweist sich als kommutative Gruppe mit dem neutralen Element
und der Inversenbildung
.[13]
Genauso wohldefiniert ist die induzierte Abbildung
![{\displaystyle {\begin{array}{rlll}\operatorname {arctan2} \;\colon &F&\to &]-\pi ,+\pi ]\\&{\overline {(x,y)}}&\mapsto &\operatorname {arctan2} (x,y)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c007ff0aa5316e946c298b2a0382ef220dcd77)
weil äquivalente Repräsentanten denselben
-Wert liefern.
Aus der Summenformel des Arkustangens folgt

Wendet man auf die Funktion
die Funktion
![{\displaystyle {\begin{array}{rlll}\operatorname {mod} \!2\pi \;\colon &]-\pi ,+\pi ]\;\;&\to &\mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} )\\&\varphi &\mapsto &\varphi +2\pi \mathbb {Z} \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4eee73924ca2984d5295b239a67f82a9a6bd93)
an, dann ergibt sich ein Homomorphismus
mit

auf die Kreisgruppe
, dessen Kern das neutrale Element
mit
ist.
Sind
und
mit der natürlichen Topologie ausgestattet, dann ist
in beiden Richtungen stetig, mithin ein Homöomorphismus.
Mit einer kleinen Vorbereitung und mit nur einem Vergleich mehr als in den Fallunterscheidungen der Formel
lässt sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe (des Arkustangens) kontrollieren und ggf. verbessern.
Der Winkel von
zeichnet sich dadurch aus, dass er ein ganzzahliger Bruchteil, nämlich ein Achtel, des vollen Winkels von
ist und gleichzeitig sein Strahl durch ganzzahlige Koordinaten geht.
Quadranten lassen sich in der Koordinatenebene so ausrichten, dass ihre Begrenzungen (die definitionsgemäß stets Strahlen sind) parallel zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen. Bei Oktanten[14] kommen noch die Winkelhalbierenden als Begrenzungen hinzu. Die Feststellung, zu welchem der acht Oktanten ein Punkt
gehört, ist bei einer derartigen Ausrichtung besonders einfach.
- Schreibweise
- In diesem § werden in den Beziehungen zwischen Strahlen und Winkeln die gewohnten Operatoren
mit der darübergeschriebenen Tilde
verwendet, um auszudrücken, dass ein Strahl eine Äquivalenzklasse
ist. Und bei den Vergleichsoperatoren
wird der Strahl stets mit dem ihm
am nächsten liegenden Winkel verglichen.
- Um Verwechslungen mit Koordinaten
zu vermeiden, wird in den Dezimaldarstellungen statt des Kommas der Dezimalpunkt verwendet.
Im Folgenden wird versucht, einen beliebigen Strahl
resp. Winkel
mit einfachen und umkehrbaren Drehungen in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall
zu drehen. Dann ist nämlich der Absolutbetrag des Arguments
in der Taylorreihe des Arkustangens
.
In einer ersten Drehung wird der Strahl
um
gedreht, d. h. der Strahl

gebildet. Der Oktant, in den dieser Strahl fällt, sei der
-te, und die Nummerierung der Oktanten sei so gewählt, dass der erste das Winkelintervall
abdeckt:
Nummer des Oktanten seine untere und obere Begrenzung |
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die obere als Strahl ![{\displaystyle (x_{1},y_{1})={\big [}{\begin{smallmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7458e384ca750eaae657fc37ec47057ec873e4) |
 |
 |
![{\displaystyle {\big [}{\begin{smallmatrix}-1\\-1\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cdca41ed81e9ad0a891c71d9b59e29e791913f) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}0\\-1\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee11d56a1d8f41282ddd522634755f82b27ee8f6) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}+1\\-1\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0bce0f178c95252b8059eda28dd3ecbfd0e2ef) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}+1\\0\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaabd2871c18ebe3ae47347dae17436389571495) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}+1\\+1\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2573fe305ee2c91650e60af5dbcae6e693a66c8d) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}0\\+1\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c353ded6ec5a8561518dbd45e2620af70f89ff75) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}-1\\+1\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9000c436ca59335bb41d45088f048ed9b68c42) |
![{\displaystyle ,\;{\big [}{\begin{smallmatrix}-1\\0\end{smallmatrix}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f5ff90df9a67d902392545d12a9307526ba9d6) |
|
die obere als Polarwinkel  |
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Vom derart bestimmten Oktanten wird der obere begrenzende Strahl genommen, der durch einen Punkt
aus der in der Tabelle gezeigten Menge von Strahlen charakterisiert werden kann. (Alle diese Punkte haben ganzzahlige Koordinaten, und beim ersten Oktanten ist bspw.
.) Dann ist
oder
.
Es folgt eine Drehung von
, die zweite, jetzt um
, so dass

im gewünschten Winkelintervall ist.
Um diese zweite Drehung von
mit ganzzahligem
muss das Ergebnis, wenn der Arkustangens berechnet ist, korrigiert werden.
Die erste Drehung muss nur ungefähr
betragen. Wenn sie davon etwas abweicht, etwa
oder auch
beträgt, dann wird der Strahl
möglicherweise nicht so gut in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall eingepasst. Das Konvergenzverhalten verschlechtert sich aber wegen
nur geringfügig auf
.
Nach der zweiten Drehung kann die Taylorreihe (an der Entwicklungsstelle
)

entwickelt und die abschließende Korrektur

vorgenommen werden.
- Beispiele
- Der Ausgangsstrahl sei
, was einem Winkel von ca.
entspricht. Durch die
-Addition von
kommen wir auf
, also in den
-ten Oktanten. Dessen obere Begrenzung liegt bei
. Wir bilden die Differenz
und berechnen
mit
und korrigieren mit
zum Endergebnis
.
- Der Ausgangsstrahl sei
, was einem Winkel von ca.
entspricht. Durch die
-Addition von
kommen wir auf
, also in den
-ten Oktanten. Das obere Ende des Oktanten liegt bei
. Da dieser Oktant die Sprungstelle
enthält, setzen wir bei diesem
-ten Oktanten im Fall
den Korrekturwinkel auf
. Wir bilden die Differenz
und berechnen
mit
und korrigieren mit
.
Man kann die Funktion
für
auch über den Hauptwert
des komplexen Logarithmus definieren als

mit der Argument-Funktion
.
Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik benutzt, um Gelenkeinstellungen korrekt zu beschreiben.
Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung, denn zur Berechnung muss man
mit
bestimmen und dazu die gegebene kartesische Darstellung von
in die Polarform überführen, wobei man im Endeffekt wieder auf die oben definierte
-Funktion mit reellen Argumenten zurückgreift.
Die Funktion
hängt von zwei Variablen ab und ist (außer im Ursprung) stetig differenzierbar, hat also zwei partielle Ableitungen. Für die Bedingung des ersten Falls (Quadranten
und
) und dessen Zuordnung ergibt sich
[1] |
,
|
[1] |
|
Die Einschränkung auf den ersten Fall kann nachträglich fallen gelassen werden, so dass die Gleichungen für alle
gelten.[15]
Damit ist

der Gradient der Funktion
, und seine Richtung ist an jedem Punkt
senkrecht zum Radiusvektor in mathematisch positiver Drehrichtung. Das passt zu der Tatsache, dass der Funktionswert von
, der Polarwinkel, in dieser Richtung zunimmt.
Des Weiteren folgt für das totale Differential

Eine Integration dieses Differentials entlang eines Weges ergibt die Änderung des (Polar)winkels über den Weg. Ist der Weg geschlossen, so erhält man die Umlaufzahl (in Bezug auf den Ursprung
).
- ↑ a b c d In diesem Artikel wurde die Argumentreihenfolge
gewählt, weil allermeistens von der
-Ebene und praktisch nie von der
-Ebene gesprochen wird. Mehr zu Funktionsname und Argumentreihenfolge findet sich im § Implementierungen.
- ↑ Die Begriffsbildung gestattet u. a. eine einfachere und präzisere Spezifikation der Werte
und
die der auf zwei Tangens-Perioden aufgeteilten Polstelle des Tangens entsprechen.
- ↑ Elliott I. Organick: A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley, 1966, S. 42: „Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent).“
- ↑ Fortran Wiki atan2. GNU Free Documentation License (GFDL). Archiviert vom Original am 12. Juni 2017.
Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/fortranwiki.org Abgerufen am 8. April 2017.
- ↑ Numbers’ Trigonometric Function List. Apple.
- ↑ LibreOffice Calc ATAN2. Libreoffice.org.
- ↑ CLHS: Function ASIN, ACOS, ATAN. LispWorks.
- ↑ Microsoft Excel Atan2 Method. Microsoft.
- ↑ Der
-Hauptwert von
ist
.
- ↑ Die Platzierung der Quadranten
und
ist in der Abb. 3 wegen
“vertauscht” gegenüber der Abb. im Artikel Quadrant.
- ↑ Entsprechend den 2 Argumenten der
-Funktion werden zwei Koordinaten
als unabhängige Variable und nicht nur der Quotient
aufgeführt.
- ↑ Diese Definition stimmt überein mit den Regeln der komplexen Multiplikation, welche auch dem Additionstheorem des Tangens zugrunde liegen.
In diesem Artikel kommt es besonders auf ihre Eignung für ganzzahlige Koordinaten an.
- ↑ Von den komplexen Zahlen her weiß man, dass das
-Inverse von
auf ganz
(und nicht nur auf
)

ist und dass
eine abelsche Gruppe ist, was aber im Text so nicht gebraucht wird.
- ↑ Gemeint ist der Halbquadrant, der dem nautischen Gerät Oktant und der Windrose mit den vier Nebenhimmelsrichtungen entspricht, und nicht der dreidimensionale Oktant (Geometrie).
- ↑ Die Ableitungen sind gebrochen rationale Funktionen und enthalten keine transzendente Funktion. Dieses Phänomen ist aber schon vom Arkustangens her bekannt.