Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus

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Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt , , ; seltener auch , [1]) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt , , ; seltener auch ,[1] ) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus Hyperbolicus:

Areakosinus Hyperbolicus:

für .

Hier steht für den natürlichen Logarithmus.

Umrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammen mit der Signumfunktion gilt der Zusammenhang:


Für gilt:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Funktion arsinh(x)
Graph der Funktion arcosh(x)
  Areasinus Hyperbolicus Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich
Wertebereich
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote für für
Nullstellen
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte keine

Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei tritt die Doppelfakultät bzw. die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung des Areasinus Hyperbolicus lautet:

.

Die Ableitung des Areakosinus Hyperbolicus lautet:

für x > 1.

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Stammfunktionen des Areasinus Hyperbolicus und des Areakosinus Hyperbolicus lauten:

Andere Identitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.