Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus

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Areasinus hyperbolicus (abgekürzt , , ; seltener auch , [1]) und Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt , , ; seltener auch ,[1] ) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus hyperbolicus:

Areakosinus hyperbolicus:

für .

Hier steht für den natürlichen Logarithmus.

Umrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammen mit der Signumfunktion gilt der Zusammenhang:


Für gilt:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Funktion arsinh(x)
Graph der Funktion arcosh(x)
  Areasinus hyperbolicus Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich
Wertebereich
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote für für
Nullstellen
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte keine

Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei tritt die Doppelfakultät bzw. die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:

.

Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:

für x > 1.

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Stammfunktionen des Areasinus hyperbolicus und des Areakosinus hyperbolicus lauten:

Andere Identitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel

berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

  • Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist
  • Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird


Zunächst einmal soll der Operand positiv gemacht werden:

für angewandt.


Für können dann folgende Fälle unterschieden werden:

Fall 1: ist eine große, positive Zahl mit :

wobei die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
ist die kleinste, positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb ist. Jetzt soll dasjenige berechnet werden, ab dem gilt: . Dies gilt, wenn ist, woraus folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus durch ersetzen:

Fall 2: ist nahe an 0, z. B. für :

Verwendung der Taylorreihe:

Fall 3: Alle übrigen :


Der Areacosinus hyperbolicus kann über die bekannte Formel

berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das numerische Problem, dass große, positive Operanden einen Überlauf auslösen, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.

Fall 1: ist eine große, positive Zahl mit :

wobei die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.

Fall 2: :

Das Ergebnis ist nicht definiert.

Fall 3: Alle übrigen , d. h. für :

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.