Areasinus hyperbolicus (abgekürzt
arsinh
{\displaystyle \operatorname {arsinh} }
asinh
{\displaystyle \operatorname {asinh} }
Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt
arcosh
{\displaystyle \operatorname {arcosh} }
acosh
{\displaystyle \operatorname {acosh} }
Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus .
Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:
Areasinus hyperbolicus:
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
x
∈
R
{\displaystyle \,x\in \mathbb {R} }
Areakosinus hyperbolicus:
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
Hier steht
ln
{\displaystyle \ln }
natürlichen Logarithmus .
Zusammen mit der Signumfunktion
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
arsinh
(
x
)
=
sgn
(
x
)
⋅
arcosh
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\operatorname {sgn} (x)\cdot \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
Für
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
arcosh
(
x
)
=
arsinh
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
Graph der Funktion arsinh(x)
Graph der Funktion arcosh(x)
Areasinus hyperbolicus
Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
1
≤
x
<
+
∞
{\displaystyle 1\leq x<+\infty }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty }
0
≤
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle 0\leq f(x)<+\infty }
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
streng monoton steigend
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Ursprung,
keine
Asymptote
f
(
x
)
→
±
ln
(
2
|
x
|
)
{\displaystyle f(x)\to \pm \ln(2|x|)}
x
→
±
∞
{\displaystyle x\to \pm \infty }
f
(
x
)
→
ln
(
2
x
)
{\displaystyle f(x)\to \ln(2x)}
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
keine
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.
Die Reihenentwicklungen lauten:
arsinh
(
x
)
=
x
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
(
−
x
2
)
k
(
2
k
)
!
!
(
2
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
2
k
)
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
−
1
2
x
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
x
5
5
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
x
7
7
+
⋯
für
|
x
|
<
1
arsinh
(
x
)
=
sgn
(
x
)
⋅
[
ln
(
2
|
x
|
)
−
∑
k
=
1
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
2
k
(
2
k
)
!
!
(
−
x
2
)
k
]
für
|
x
|
>
1
arcosh
(
x
)
=
ln
(
2
x
)
−
∑
k
=
1
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
2
k
⋅
(
2
k
)
!
!
x
−
2
k
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsinh} (x)&=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!(-x^{2})^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {-{\frac {1}{2}}}{k}}x^{2k+1}}{2k+1}}&{}\\&=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &{\text{ für }}|x|<1\\\operatorname {arsinh} (x)&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \left[\ln(2|x|)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^{2})^{k}}}\right]&{\text{ für }}|x|>1\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2x)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}}x^{-2k}&{}\end{alignedat}}}
Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:
d
d
x
arsinh
(
x
)
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:
d
d
x
arcosh
(
x
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
Die Stammfunktionen des Areasinus hyperbolicus und des Areakosinus hyperbolicus lauten:
∫
arsinh
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arsinh
(
x
)
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x)\ \mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arcosh
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arcosh
(
x
)
−
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x)\ \mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
arcosh
(
2
x
2
−
1
)
=
2
arcosh
(
x
)
für
x
≥
1
arcosh
(
8
x
4
−
8
x
2
+
1
)
=
4
arcosh
(
x
)
für
x
≥
1
arcosh
(
2
x
2
+
1
)
=
2
arsinh
(
x
)
für
x
≥
0
arcosh
(
8
x
4
+
8
x
2
+
1
)
=
4
arsinh
(
x
)
für
x
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)=2\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)=4\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)=2\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)=4\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\end{aligned}}}
arsinh
u
±
arsinh
v
=
arsinh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
arcosh
u
±
arcosh
v
=
arcosh
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
arsinh
u
+
arcosh
v
=
arsinh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arcosh
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}
Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion
ln
x
{\displaystyle \ln x}
Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird. Zunächst einmal soll der Operand
x
{\displaystyle x}
arsinh
x
=
−
arsinh
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=-\operatorname {arsinh} (-x)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Für
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
Fall 1:
x
{\displaystyle x}
x
≥
10
k
2
{\displaystyle x\geq {10}^{\frac {k}{2}}}
arsinh
x
=
ln
2
+
ln
x
,
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln {2}+\ln {x},}
wobei
k
{\displaystyle k}
double 16 ist. Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
10
k
{\displaystyle {10}^{k}}
10
k
+
1
≈
10
k
{\displaystyle {10}^{k}+{1}\approx {10}^{k}}
x
{\displaystyle x}
x
2
+
1
≈
x
2
{\displaystyle x^{2}+1\approx {x}^{2}}
x
2
≥
10
k
{\displaystyle {x}^{2}\geq {10}^{k}}
x
≥
10
k
2
{\displaystyle {x}\geq {10}^{\frac {k}{2}}}
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
ln
(
x
+
x
2
)
=
ln
(
2
x
)
=
ln
2
+
ln
x
{\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}}})=\ln({2x})=\ln {2}+\ln {x}}
Fall 2:
x
{\displaystyle x}
x
<
0,125
{\displaystyle x<0{,}125}
Verwendung der Taylorreihe:
arsinh
x
=
x
−
1
2
x
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
x
5
5
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
x
7
7
+
⋯
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\dotsb }
Fall 3: Alle übrigen
x
{\displaystyle x}
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
Der Areacosinus hyperbolicus kann über die bekannte Formel
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das numerische Problem, dass große positive Operanden einen Überlauf auslösen, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
Fall 1:
x
{\displaystyle x}
x
≥
10
k
2
{\displaystyle x\geq {10}^{\frac {k}{2}}}
arcosh
x
=
ln
2
+
ln
x
,
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln {2}+\ln {x},}
wobei
k
{\displaystyle k}
Fall 2:
x
<
1
{\displaystyle x<1}
Das Ergebnis ist nicht definiert. Fall 3: Alle übrigen
x
{\displaystyle x}
1
≤
x
<
10
k
2
{\displaystyle 1\leq x<{10}^{\frac {k}{2}}}
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsinh} (x)&=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!(-x^{2})^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {-{\frac {1}{2}}}{k}}x^{2k+1}}{2k+1}}&{}\\&=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &{\text{ für }}|x|<1\\\operatorname {arsinh} (x)&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \left[\ln(2|x|)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^{2})^{k}}}\right]&{\text{ für }}|x|>1\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2x)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}}x^{-2k}&{}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5862cc2e1e7764149bdf315098546d6e22603a99)
