Areasinus hyperbolicus (abgekürzt
arsinh
{\displaystyle \operatorname {arsinh} }
asinh
{\displaystyle \operatorname {asinh} }
Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt
arcosh
{\displaystyle \operatorname {arcosh} }
acosh
{\displaystyle \operatorname {acosh} }
Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus .
Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:
Areasinus hyperbolicus:
Definition über den natürlichen Logarithmus
ln
{\displaystyle \ln }
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
x
∈
R
{\displaystyle \,x\in \mathbb {R} }
[ 1] Definition über ein Integral:
arsinh
(
x
)
=
∫
0
1
x
x
2
y
2
+
1
d
y
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}y^{2}+1}}}\,\mathrm {d} y}
x
∈
R
{\displaystyle \,x\in \mathbb {R} }
Areakosinus hyperbolicus:
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
[ 1] Zusammen mit der Signumfunktion
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
arsinh
(
x
)
=
sgn
(
x
)
⋅
arcosh
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\operatorname {sgn} (x)\cdot \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
Für
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
arcosh
(
x
)
=
arsinh
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
Graph der Funktion arsinh(x) Graph der Funktion arcosh(x)
Areasinus hyperbolicus
Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
1
≤
x
<
+
∞
{\displaystyle 1\leq x<+\infty }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty }
0
≤
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle 0\leq f(x)<+\infty }
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
streng monoton steigend
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Ursprung,
keine
Asymptote
f
(
x
)
→
±
ln
(
2
|
x
|
)
{\displaystyle f(x)\to \pm \ln(2|x|)}
x
→
±
∞
{\displaystyle x\to \pm \infty }
f
(
x
)
→
ln
(
2
x
)
{\displaystyle f(x)\to \ln(2x)}
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
keine
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.
Die Reihenentwicklungen lauten:
arsinh
(
x
)
=
x
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
(
−
x
2
)
k
(
2
k
)
!
!
(
2
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
2
k
)
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
−
1
2
x
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
x
5
5
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
x
7
7
+
⋯
für
|
x
|
<
1
arsinh
(
x
)
=
sgn
(
x
)
⋅
[
ln
(
2
|
x
|
)
−
∑
k
=
1
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
2
k
(
2
k
)
!
!
(
−
x
2
)
k
]
für
|
x
|
>
1
arcosh
(
x
)
=
ln
(
2
x
)
−
∑
k
=
1
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
2
k
⋅
(
2
k
)
!
!
x
−
2
k
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsinh} (x)&=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!(-x^{2})^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {-{\frac {1}{2}}}{k}}x^{2k+1}}{2k+1}}&{}\\&=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &{\text{ für }}|x|<1\\\operatorname {arsinh} (x)&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \left[\ln(2|x|)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^{2})^{k}}}\right]&{\text{ für }}|x|>1\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2x)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}}x^{-2k}&{}\end{alignedat}}}
Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:
d
d
x
arsinh
(
x
)
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
x
{\displaystyle x}
Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:
d
d
x
arcosh
(
x
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
Die Stammfunktionen sind gegeben durch[ 2]
∫
arsinh
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arsinh
(
x
)
−
x
2
+
1
+
C
,
{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,}
∫
arcosh
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arcosh
(
x
)
−
x
2
−
1
+
C
.
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C.}
Die Ursprungsstammfunktion des kardinalischen Areasinus hyperbolicus ist dilogarithmisch beschaffen:
∫
0
x
1
y
arsinh
(
y
)
d
y
=
1
2
Li
2
[
1
−
(
x
2
+
1
−
x
)
2
]
+
1
2
arsinh
(
x
)
2
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{y}}\operatorname {arsinh} (y)\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}{\bigl [}1-{\bigl (}{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr )}^{2}{\bigr ]}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} (x)^{2}}
Eng verwandt sind diese Ursprungsstammfunktionen aus den Abwandlungen des Areasinus hyperbolicus cardinalis:
∫
0
x
arsinh
(
y
)
y
y
2
+
1
d
y
=
2
Li
2
(
x
x
2
+
1
+
1
)
−
1
2
Li
2
(
x
2
+
1
−
1
x
2
+
1
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arsinh} (y)}{y\,{\sqrt {y^{2}+1}}}}\,\mathrm {d} y=2\operatorname {Li} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}{\biggr )}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}{\biggr )}}
∫
0
x
arsinh
(
y
)
y
(
y
2
+
1
)
d
y
=
Li
2
(
x
x
2
+
1
)
−
1
4
Li
2
(
x
2
x
2
+
1
)
=
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arsinh} (y)}{y\,(y^{2}+1)}}\,\mathrm {d} y=\operatorname {Li} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )}-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}{\biggl (}{\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}{\biggr )}=}
=
Li
2
[
1
−
(
x
2
+
1
−
x
)
2
]
−
1
4
Li
2
[
1
−
(
x
2
+
1
−
x
)
4
]
{\displaystyle =\operatorname {Li} _{2}{\bigl [}1-{\bigl (}{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr )}^{2}{\bigr ]}-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}{\bigl [}1-{\bigl (}{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr )}^{4}{\bigr ]}}
Die Integrale der Kehrwerte von Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus beinhalten die Integralhyperbelfunktionen und sind somit nicht elementar darstellbar.
Die Ursprungsstammfunktion des reziproken kardinalischen Areasinus hyperbolicus ist direkt die Hälfte vom Integralsinus hyperbolicus vom Doppelten des Areasinus hyperbolicus:
∫
0
x
y
arsinh
(
y
)
d
y
=
1
2
Shi
[
2
arsinh
(
x
)
]
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {y}{\operatorname {arsinh} (y)}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\operatorname {Shi} {\bigl [}2\operatorname {arsinh} (x){\bigr ]}}
∫
1
x
y
arcosh
(
y
)
d
y
=
1
2
Shi
[
2
arcosh
(
x
)
]
{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {y}{\operatorname {arcosh} (y)}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\operatorname {Shi} {\bigl [}2\operatorname {arcosh} (x){\bigr ]}}
∫
1
x
1
arcosh
(
y
)
d
y
=
Shi
[
arcosh
(
x
)
]
{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{\operatorname {arcosh} (y)}}\,\mathrm {d} y=\operatorname {Shi} {\bigl [}\operatorname {arcosh} (x){\bigr ]}}
Das Integral aus dem Kehrwert des Areasinus hyperbolicus ist eine Komposition aus dem Integralkosinus hyperbolicus:
∫
1
x
1
arsinh
(
y
)
d
y
=
Chi
[
arsinh
(
x
)
]
−
Chi
[
arsinh
(
1
)
]
{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{\operatorname {arsinh} (y)}}\,\mathrm {d} y=\operatorname {Chi} {\bigl [}\operatorname {arsinh} (x){\bigr ]}-\operatorname {Chi} {\bigl [}\operatorname {arsinh} (1){\bigr ]}}
Dabei sind die Integralhyperbelfunktionen so definiert:
Shi
(
x
)
=
∫
0
1
1
y
sinh
(
x
y
)
d
y
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\sinh(xy)\,\mathrm {d} y}
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
|
x
|
+
∫
0
1
1
y
[
cosh
(
x
y
)
−
1
]
d
y
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln |x|+\int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}{\bigl [}\cosh(xy)-1{\bigr ]}\,\mathrm {d} y}
Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten des Areasinus Hyperbolicus sind gültig:
∫
0
1
/
2
1
x
arsinh
(
x
)
d
x
=
π
2
20
{\displaystyle \int _{0}^{1/2}{\frac {1}{x}}\operatorname {arsinh} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{20}}}
∫
0
∞
arsinh
(
x
)
x
x
2
+
1
d
x
=
π
2
4
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x{\sqrt {x^{2}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{4}}}
∫
0
∞
arsinh
(
x
)
x
(
x
2
+
1
)
d
x
=
π
2
8
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arsinh} (x)}{x(x^{2}+1)}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten vom Kehrwert des Areasinus Hyperbolicus sind gültig:
∫
0
∞
x
(
x
2
+
1
)
3
/
2
arsinh
(
x
)
d
x
=
4
G
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)^{3/2}\operatorname {arsinh} (x)}}\,\mathrm {d} x={\frac {4\,G}{\pi }}}
∫
0
∞
x
(
x
2
+
1
)
2
arsinh
(
x
)
d
x
=
7
ζ
(
3
)
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)^{2}\operatorname {arsinh} (x)}}\,\mathrm {d} x={\frac {7\,\zeta (3)}{\pi ^{2}}}}
Der Buchstabe G stellt die Catalan-Konstante und der Ausdruck
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
Apéry-Konstante dar.
arsinh
u
±
arsinh
v
=
arsinh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
arcosh
u
±
arcosh
v
=
arcosh
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
arsinh
u
+
arcosh
v
=
arsinh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arcosh
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}
arcosh
(
2
x
2
−
1
)
=
2
arcosh
(
x
)
für
x
≥
1
arcosh
(
4
x
3
−
3
x
)
=
3
arcosh
(
x
)
für
x
≥
1
arcosh
(
8
x
4
−
8
x
2
+
1
)
=
4
arcosh
(
x
)
für
x
≥
1
arcosh
(
16
x
3
−
20
x
3
+
5
x
)
=
5
arcosh
(
x
)
für
x
≥
1
arcosh
(
2
x
2
+
1
)
=
2
arsinh
(
x
)
für
x
≥
0
arsinh
(
4
x
3
+
3
x
)
=
3
arsinh
(
x
)
für
x
∈
R
arcosh
(
8
x
4
+
8
x
2
+
1
)
=
4
arsinh
(
x
)
für
x
≥
0
arsinh
(
16
x
5
+
20
x
3
+
5
x
)
=
5
arsinh
(
x
)
für
x
∈
R
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)=2\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (4x^{3}-3x)=3\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)=4\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (16x^{3}-20x^{3}+5x)=5\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)=2\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\\\operatorname {arsinh} (4x^{3}+3x)=3\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\in \mathbb {R} \\\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)=4\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\\\operatorname {arsinh} (16x^{5}+20x^{3}+5x)=5\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}
Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion
ln
x
{\displaystyle \ln x}
Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird. Zunächst einmal soll der Operand
x
{\displaystyle x}
arsinh
x
=
−
arsinh
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=-\operatorname {arsinh} (-x)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Für
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
Fall 1:
x
{\displaystyle x}
x
≥
10
k
2
{\displaystyle x\geq {10}^{\frac {k}{2}}}
arsinh
x
=
ln
2
+
ln
x
,
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln {2}+\ln {x},}
wobei
k
{\displaystyle k}
double 16 ist. Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
10
k
{\displaystyle {10}^{k}}
10
k
+
1
≈
10
k
{\displaystyle {10}^{k}+{1}\approx {10}^{k}}
x
{\displaystyle x}
x
2
+
1
≈
x
2
{\displaystyle x^{2}+1\approx {x}^{2}}
x
2
≥
10
k
{\displaystyle {x}^{2}\geq {10}^{k}}
x
≥
10
k
2
{\displaystyle {x}\geq {10}^{\frac {k}{2}}}
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
ln
(
x
+
x
2
)
=
ln
(
2
x
)
=
ln
2
+
ln
x
{\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}}})=\ln({2x})=\ln {2}+\ln {x}}
Fall 2:
x
{\displaystyle x}
x
<
0,125
{\displaystyle x<0{,}125}
Verwendung der Taylorreihe:
arsinh
x
=
x
−
1
2
x
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
x
5
5
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
x
7
7
+
⋯
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\dotsb }
Fall 3: Alle übrigen
x
{\displaystyle x}
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus über die Formel
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den großen Operanden; die Lösung ist dieselbe wie beim Areasinus:
Fall 1:
x
{\displaystyle x}
x
≥
10
k
2
{\displaystyle x\geq {10}^{\frac {k}{2}}}
arcosh
x
=
ln
2
+
ln
x
,
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln {2}+\ln {x},}
wobei
k
{\displaystyle k}
Fall 2:
x
<
1
{\displaystyle x<1}
Das Ergebnis ist nicht definiert. Fall 3: Alle übrigen
x
{\displaystyle x}
1
≤
x
<
10
k
2
{\displaystyle 1\leq x<{10}^{\frac {k}{2}}}
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
↑ a b Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik . 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1 , S. 94 .
↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik . 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1 , S. 1116 (Abweichende Bezeichnungen).
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsinh} (x)&=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!(-x^{2})^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {-{\frac {1}{2}}}{k}}x^{2k+1}}{2k+1}}&{}\\&=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &{\text{ für }}|x|<1\\\operatorname {arsinh} (x)&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \left[\ln(2|x|)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^{2})^{k}}}\right]&{\text{ für }}|x|>1\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2x)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}}x^{-2k}&{}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5862cc2e1e7764149bdf315098546d6e22603a99)
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{y}}\operatorname {arsinh} (y)\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}{\bigl [}1-{\bigl (}{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr )}^{2}{\bigr ]}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} (x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ffd8029595e1b1ea15dc4ea3d0e642a7ed1040)
![{\displaystyle =\operatorname {Li} _{2}{\bigl [}1-{\bigl (}{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr )}^{2}{\bigr ]}-{\frac {1}{4}}\operatorname {Li} _{2}{\bigl [}1-{\bigl (}{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr )}^{4}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613f3bc29219d6ee957a98c92a3f7968e15a1625)
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {y}{\operatorname {arsinh} (y)}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\operatorname {Shi} {\bigl [}2\operatorname {arsinh} (x){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb6d0599eb213f676e6502ef81071c438308ed9)
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {y}{\operatorname {arcosh} (y)}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\operatorname {Shi} {\bigl [}2\operatorname {arcosh} (x){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4539579920c1ff3c73f579fe4fa2e9b11a0a7694)
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{\operatorname {arcosh} (y)}}\,\mathrm {d} y=\operatorname {Shi} {\bigl [}\operatorname {arcosh} (x){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8626d63133e13da3e1553cafaa0f2325a89c9ab4)
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{\operatorname {arsinh} (y)}}\,\mathrm {d} y=\operatorname {Chi} {\bigl [}\operatorname {arsinh} (x){\bigr ]}-\operatorname {Chi} {\bigl [}\operatorname {arsinh} (1){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d34b199dcc86d9af0c7651fc851e6abd80c97f)
![{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln |x|+\int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}{\bigl [}\cosh(xy)-1{\bigr ]}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6b5a28a09a5a41a1965e3431ffa9eef80f3904)
