Abb. 1: Graph der Funktion

Abb. 2: Graph der Funktion

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische Arkusfunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall
und beim Kotangens das Intervall
.[1]
Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Zusammen mit den Areafunktionen sind sie in der komplexen Funktionentheorie Abwandlungen des komplexen Logarithmus, von dem sie auch die „Mehrdeutigkeit“ erben, die ihrerseits von der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion herrührt.
Mathematische Formeln verwenden für den Arkustangens als Formelzeichen
,
,
,
oder
.[2]
Für den Arkuskotangens sind die Schreibweisen
und neuerdings auch
[3] in Gebrauch.
Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise
beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise
die klassische Schreibweise
zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann (s. a. die Schreibweisen für die Iteration).
|
Arkustangens
|
Arkuskotangens
|
Definitionsbereich
|
|
|
Bildmenge
|
|
|
Monotonie
|
streng monoton steigend
|
streng monoton fallend
|
Symmetrien
|
Ungerade Funktion:
|
Punktsymmetrie zu 
|
Asymptoten
|
für
|
für 
für
|
Nullstellen
|
|
keine
|
Sprungstellen
|
keine
|
keine
|
Polstellen
|
keine
|
keine
|
Extrema
|
keine
|
keine
|
Wendepunkte
|
|
|
Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[4]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Weitere wichtige Werte sind:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Für Tangenswerte
siehe die Formel im Abschnitt #Funktionalgleichungen.
Es gelten folgende Näherungen:
Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[5]

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.
Arkuskotangens:

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt
lautet:

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt
lautet:

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn
und
ist. Zur Berechnung des Arkustangens für
kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit
zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne
auszukommen) die Gleichung

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit
sodass obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird
mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.
Wegen
hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt
die Taylorreihe:

Sie konvergiert für
und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für
allerdings mit dem Wert
Manche Pakete der Computeralgebra geben für
den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert
als Hauptwert.
Statt aus Argumenten
über 1 oder unter −1 lässt sich der Arkustangens aus Argumenten
zwischen −1 und 1 ableiten:
.
Gleiches gilt für den Arkuskotangens:
.
Wenn man (bspw. durch die erste Ersetzung) bei einem Argument (einem Tangenswert)
ankommt, kann man anschließend im Fall
die Gleichung

anwenden, sodass mit
das Argument des Arkustangens in jedem Fall (jetzt
, sonst
) ins Intervall
mit
zu liegen kommt.




Wegen der Punktsymmetrie
ist mit
auch
ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.
Die Additionstheoreme für Arkustangens und Arkuskotangens erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Tangens und Kotangens:


Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte


Aus dem ersten Gesetz lässt sich für hinreichend kleine
mit

das Gruppengesetz
ableiten. Es gilt also beispielsweise:

woraus sich

errechnet.
Ferner gilt

und dementsprechend

Die zwei Gleichungen als Arkuskotangens geschrieben:

und

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall
die Leibniz-Formel

Da sie nur extrem langsam (logarithmisch) konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

um die ersten 100 Nachkommastellen von
mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller (linear) und wird auch heute noch für die Berechnung von
verwendet.
Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von Carl Størmer (1896):
[6]
was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl
mit 
gleich sind.[7]
Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei es hier um die Gaußsche Zahl

geht, die mit einem Taschenrechner berechnet werden kann.
Arkustangens:

Arkuskotangens:

Arkustangens:
Eine Stammfunktion des Arkustangens ist

Arkuskotangens:
Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

Lässt man komplexe Argumente und Werte zu, so hat man
mit 
eine Darstellung, die quasi schon in Real- und Imaginärteil aufgespalten ist. Wie im Reellen gilt

mit
Man kann im Komplexen sowohl den Arkustangens (wie auch den Arkuskotangens) durch ein Integral und durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

für
in der zweifach geschlitzten Ebene
Das Integral hat einen Integrationsweg, der die imaginäre Achse nicht kreuzt außer evtl. im Einheitskreis. Es ist in diesem Gebiet
regulär und eindeutig.[8]
Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

Ist die Diskriminante
nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

in die Form

bringen; eine Stammfunktion ist also

Ist ein Punkt
in der Ebene durch Polarkoordinaten
gegeben, so sind seine kartesischen Koordinaten
durch die Gleichungen
|
|
|
bestimmt.
Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Auf jeden Fall gehört der Abstand
|
 |
|
des Punktes
vom Ursprung
zur Lösung. Ist nun
dann ist auch
und es spielt keine Rolle, welchen Wert
hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.
Ist aber
dann ist
weil die Funktionen
und
die Periode
haben, durch die Gleichungen
nur modulo
bestimmt, d. h., mit
ist auch
für jedes
eine Lösung.
Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen.
Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.
Der simple Arkustangens
(s. Abb. 3) reicht allerdings nicht aus. Denn wegen der Periodizität des Tangens von
muss dessen Definitionsmenge vor der Umkehrung auf eine Periodenlänge von
eingeschränkt werden, was zur Folge hat, dass die Umkehrfunktion (der Arkustangens) keine größere Bildmenge haben kann.
Abb. 3: φ als Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks
In der nebenstehenden Abb. 3[9] ist die Polarachse (die mit der
-Achse definitionsgemäß zusammenfällt) um den Betrag
in die
-Richtung verlängert, also vom Pol (und Ursprung)
bis zum Punkt
Das Dreieck
ist ein gleichschenkliges, sodass die Winkel
und
gleich sind. Ihre Summe, also das Doppelte eines von ihnen, ist gleich dem Außenwinkel
des Dreiecks
Dieser Winkel ist der gesuchte Polarwinkel
Mit dem Abszissenpunkt
gilt im rechtwinkligen Dreieck

was nach
aufgelöst
|
 |
|
ergibt. Die Gleichung versagt, wenn
ist. Dann muss wegen
auch
sein.
Wenn jetzt
ist, dann handelt es sich um den singulären Fall.
Ist aber
dann sind die Gleichungen
durch
oder
erfüllt.[10] Das ist in Einklang mit den Bildmengen
resp.
der Funktion im folgenden Abschnitt.
Ein anderer Weg, um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, ist in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen gewählt worden, und zwar eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und die damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo
bspw. im Intervall
und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können:
|
 |
|
Zusammen mit der Gleichung
erfüllt jede der beiden Lösungen
und
die Gleichungen
:
und
,
und zwar für
mit jedem beliebigen
Abb. 4: Arkustangens mit Lageparameter
In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung
der Gleichung
so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert
liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter
modifizierte Arkustangens-Funktion

Die Funktion
rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.
- ↑ Beide Funktionen sind monoton in diesen Intervallen, und diese sind von den jeweiligen Polstellen begrenzt.
- ↑ Eric W. Weisstein: Inverse Tangent. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Eric W. Weisstein: Inverse Cotangent. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Weitere Approximationen (en) (Memento vom 16. April 2009 im Internet Archive)
- ↑ Bspw. sind die Zahlen
Størmer-Zahlen;
dagegen nicht.
- ↑ Dabei ist
- ↑ Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 Formel 4.4.3
- ↑ Eine ganz ähnliche Skizze ist die von Einheitskreis#Rationale Parametrisierung.
- ↑ Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen besteht Instabilität in der Nähe des
-Strahls wegen