Assoziativgesetz

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Bei assoziativen Verknüpfungen ist das Endergebnis dasselbe, auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgeführt werden.

Das Assoziativgesetz (lateinisch associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.

Neben dem Assoziativgesetz sind Distributivgesetz und Kommutativgesetz von elementarer Bedeutung in der Mathematik.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine binäre Verknüpfung auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle das Assoziativgesetz
gilt. Die Klammern können dann weggelassen werden. Das gilt auch für mehr als drei Operanden.

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Assoziativität der Addition reeller Zahlen

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ. So gilt zum Beispiel

 
und
  .

Reelle Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist

 
und
  .

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da

 

gilt. Bei (divergenten) unendlichen Summen kann es auf die Klammersetzung ankommen. So verliert die Addition die Assoziativität bei:

aber

Einordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Seitigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Operatorassoziativität

Insbesondere bei nicht-assoziativen Verknüpfungen gibt es Konventionen einer seitigen Assoziativität.

  • Eine binäre Verknüpfung gilt als links-assoziativ, wenn
aufzufassen ist.
  • Die nicht-assoziativen Operationen Subtraktion und Division werden gemeinhin links-assoziativ verstanden:[1][2][3]
(Subtraktion)
(Division)
  • Anwendung von Funktionen
im Verfahren des Currying.
  • Eine binäre Verknüpfung heißt rechts-assoziativ, wenn gilt:
Beispiel für eine rechts-assoziative Operation:

Aber auch assoziative Operationen können Seitigkeit haben, wenn sie ins Unendliche zu iterieren sind.

  • Die dezimale Notation rechts vom Dezimalkomma
ist eine links-assoziative Verkettung der Dezimalziffern, weil die Auswertung(sschleife) nicht rechts bei den Auslassungspunkten beginnen kann, sondern links beginnen muss.
enthält mit der Juxtaposition eine rechts-assoziative Verkettungsoperation, weil die Auswertung rechts beginnen muss.

Schwächere Formen der Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:

  • Potenz-Assoziativität:
  • Alternativität:
    • Linksalternativität:
    • Rechtsalternativität:
  • Flexibilitätsgesetz:
  • Moufang-Identitäten:

  • Bol-Identitäten:[4]
    • linke Bol-Identität:
    • rechte Bol-Identität:
  • Jordan-Identität:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik, Seiten 115–120, Kapitel: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
  2. George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
  3. Education Place: The Order of Operations
  4. Gerrit Bol: Gewebe und Gruppen In: Mathematische Annalen, 114 (1), 1937, S. 414–431.