Assoziativgesetz

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Die Assoziativität der Addition reeller Zahlen

Das Assoziativgesetz (lat. associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.

Neben dem Assoziativgesetz sind Distributivgesetz und Kommutativgesetz von elementarer Bedeutung in der Mathematik.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Summen- oder Produktterm dürfen die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden oder Faktoren.

Eine binäre Verknüpfung {\circ}\colon A \times A\to A auf einer Menge A heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c\in A das Assoziativgesetz

 a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c

gilt.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen

 \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)

ist der Ausdruck

 a \circ b \circ c

eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, es gilt zum Beispiel

(2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12

und

(2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42.

Die Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist zum Beispiel

 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad (2 - 3) - 1 = -2

und

 (4:2):2 = 1 \quad\neq\quad 4:(2:2)= 4 .

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da zum Beispiel

2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad (2^2)^3 = 4^3 = 64

gilt.

Einordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Schwächere Formen der Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:

a^{r+s} = (a^r)\circ (a^s)
a^i \circ a = a \circ a^i
a \circ ( a \circ a ) = (a \circ a ) \circ a
a \cdot ( a \circ b ) = ( a \circ a ) \circ b
    • Rechtsalternativität:
a \circ ( b \circ b ) = ( a \circ b ) \circ b
a \circ \left( b \circ a \right) = \left( a \circ b \right) \circ a
\Big(a \circ (b \circ a)\Big) \circ c = a \circ \Big(b  \circ (a \circ c)\Big)
(a \circ b) \circ (c \circ a) = a \circ \Big((b \circ c) \circ a\Big)
  • Bol-Identitäten[1]:
    • linke Bol-Identität
\Big(b \circ (c \circ b)\Big) \circ a = b \circ \Big(c \circ (b \circ a)\Big)
    • rechte Bol-Identität
\Big( (a \circ b) \circ c\Big) \circ b = a \circ \Big( (b  \circ c) \circ b\Big)
a \circ \big( \left( a \circ a \right) \circ b \Big) = \left( a \circ a \right) \circ \left( a \circ b \right)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gerrit Bol: Gewebe und Gruppen In: Mathematische Annalen 114 (1), 1937, S. 414-431.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.