Asymptotische Dichte

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Die asymptotische Dichte ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Einfache Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man nennt den Grenzwert

die asymptotische Dichte einer Untermenge . Dabei ist die Zählfunktion von . Diese gibt an, wie viele Elemente aus nicht größer als sind. Es gilt .

Obere und untere asymptotische Dichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein beliebiges sei und .

Die obere asymptotische Dichte von ist dann durch

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist die durch

definierte untere asymptotische Dichte von . hat nur dann eine asymptotische Dichte , wenn gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

und daher kann durch ihn definiert werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wenn für die Menge existiert, dann gilt für die bezüglich komplementäre Menge :
  • Für eine beliebige endliche Menge natürlicher Zahlen gilt:
  • Für die Menge aller Quadratzahlen gilt:
  • Für die Menge aller geraden Zahlen gilt:
  • Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge mit positivem a:
  • Für die Menge aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes:
  • Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte mit der Riemannschen Zetafunktion .
  • Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0.2474 und 0.2480.
  • Die Menge aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory, 195. Springer, 2000, ISBN 0387989129.
  • H. H. Ostmann: Additive Zahlentheorie I (German), 7. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg 1956.
  • Jörn Steuding: Probabilistic number theory. Abgerufen am 7. Februar 2016.
  • Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory, 46. Cambridge University Press, Cambridge 1995.