Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

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Der Atiyah–Bott-Fixpunktsatz wurde 1966 von Michael Atiyah und Raoul Bott bewiesen und verallgemeinert den Fixpunktsatz von Lefschetz für glatte Mannigfaltigkeiten.

Vorbemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit, dann ist die Lefschetz-Zahl

einer stetigen Selbstabbildung definiert. Mit wird die durch induzierte Abbildung bezeichnet. Die Lefschetz-Zahl ist wohldefiniert, denn die singulären Homologien einer glatten, kompakten Mannigfaltigkeit sind als Vektorräume endlichdimensional. Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz verallgemeinert diese Aussage nun auf eine Klasse von Kohomologien und gibt eine Formel zur Berechnung der Lefschetz-Zahl.

Sei ein elliptischer Komplex. Das heißt ist eine Folge glatter Vektorbündel und eine Folge (geometrischer) Differentialoperatoren, so dass

  1. gilt und
  2. die Sequenz exakt ist. Dabei bezeichnet das Vektorbündel über dem Kotangentialbündel das durch induziert wird, und das Hauptsymbol von

Aufgrund der ersten Eigenschaft kann man aus jedem elliptischen Komplex eine Kohomologie gewinnen und aufgrund der zweiten Eigenschaft sind die Kohomologien endlichdimensional. Sei ein Kettenendomorphismus. Dieser induziert einen Endomorphismus von Kohomologien In Analogie zur Lefschetz-Zahl definiert man

Sei eine differenzierbare Funktion, deren Graph zur Diagonalen in transversal ist. Die Fixpunkte von sind gerade die Schnittpunkte des Graphen mit der Diagonalen. Aus der Transversalität folgt für alle Fixpunkte dass gilt, wobei die Ableitung von am Punkt ist. Ein Lift von über einem elliptischen Komplex ist eine Folge von Bündelhomomorphismen, so dass für mit

die Identität gilt. Insbesondere ist dann ein Endomorphismus von Schnitten in dem elliptischen Komplex .

Atiyah-Bott-Fixpunktformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von ist. Sei außerdem ein elliptischer Komplex, ein Lift von und der durch definierte Endomorphismus. Dann ist die Lefschetz-Zahl durch

bestimmt, wobei die Spur von an einem Fixpunkt von meint und die Ableitung von in ist.

Eine Anwendung des Atiyah-Bott-Fixpunktsatzes ist ein einfacher Beweis der Weylschen Charakterformel für die Darstellung von Liegruppen.

Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der de-Rham-Komplex, hierbei ist die Algebra der Differentialformen und die Cartan-Ableitung. Dies ist ein elliptischer Komplex, daher kann man die Fixpunktformel auf diesen Komplex anwenden. Sei wieder eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von ist und der entsprechende Lift. Dann gilt für den Index

Da differenzierbar ist und nur isolierte Fixpunkte hat entspricht dies der Fixpunktformel von Lefschetz.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die frühe Geschichte ist mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz verbunden. Im engeren Sinn entstanden die ersten Ideen auf einer Konferenz 1964 in Woods Hole, Massachusetts (deshalb auch Woods Hole Fixpunktsatz genannt). Anscheinend stammt der ursprüngliche Anlass aus einer Bemerkung von Martin Eichler über den Zusammenhang von Fixpunktsätzen und automorphen Formen, was Gorō Shimura auf der Konferenz Raoul Bott erläuterte. Er vermutete die Existenz eines Lefschetz-Fixpunktsatzes für holomorphe Abbildungen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • M. F. Atiyah, R. Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 72, No. 2, 1966, ISSN 0273-0979, S. 245–250, online (PDF; 488 KB), (Ankündigung).
  • M. F. Atiyah, R. Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes. I. In: Annals of Mathematics. 2.Series, Bd. 86, No. 2, Sept. 1967, ISSN 0003-486X, S. 374–407.
  • M. F. Atiyah, R. Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes. II. In: Annals of Mathematics. 2.Series, Bd. 88, No. 3, Nov. 1968, S. 451–491, (Beweise und Anwendungen).
  • Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20062-2, Kap. 6. 2.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]