Autonome Differentialgleichung

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Als autonome Differentialgleichung oder autonomes System bezeichnet man einen Typ von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

heißt autonome Differentialgleichung, wenn die Funktion nicht explizit von der unabhängigen Variable abhängt, das heißt wenn

für alle im Definitionsbereich gilt.

Nach Übergang zu einem höherdimensionalen System erster Ordnung kann man, für einen n-dimensionalen Phasenraum , die Funktion von nach auch als Vektorfeld betrachten. Die Kurvenintegrale (also die Lösungen) der autonomen Differentialgleichungen sind translationsinvariant.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jedes zeitabhängige Differentialgleichungssystem der Dimension ist durch Übergang zu einem System der Dimension als autonomes System darstellbar.
  • Ist eine Lösung einer autonomen Differentialgleichung, so ist auch für alle eine Lösung ebendieser Gleichung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beispiel für eine autonome Differentialgleichung ist die in der theoretischen Biologie verwendete logistische Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Günther Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner 2006