Autonome Differentialgleichung

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Als autonome Differentialgleichung oder autonomes System bezeichnet man einen Typ von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

 y^{(n)}(x) = f\left (y(x),y'(x),...,y^{(n-1)}(x), x\right )

heißt autonome Differentialgleichung, wenn die Funktion f nicht explizit von der unabhängigen Variable x abhängt, das heißt wenn

 y^{(n)}(x) = f\left (y(x),y'(x),...,y^{(n-1)}(x)\right )

für alle x im Definitionsbereich gilt.

Nach Übergang zu einem höherdimensionalen System erster Ordnung kann man, für einen n-dimensionalen Phasenraum D, die Funktion f von D nach R^n auch als Vektorfeld betrachten. Die Kurvenintegrale (also die Lösungen) der autonomen Differentialgleichungen sind translationsinvariant.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jedes zeitabhängige Differentialgleichungssystem der Dimension n ist durch Übergang zu einem System der Dimension n+1 als autonomes System darstellbar.
  • Ist y eine Lösung einer autonomen Differentialgleichung, so ist auch y(\cdot + c) für alle c \in \R eine Lösung ebendieser Gleichung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beispiel für eine autonome Differentialgleichung ist die in der theoretischen Biologie verwendete logistische Differentialgleichung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Günther Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner 2006