BDF-Verfahren

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Die BDF-Verfahren (englisch Backward Differentiation Formulas) sind Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen:

Dabei wird für eine Näherungslösung an den Zwischenstellen berechnet:

Die Verfahren wurden 1952 von Charles Francis Curtiss und Joseph Oakland Hirschfelder eingeführt und sind seit dem Erscheinen der Arbeiten von C. William Gear 1971 als Löser für steife Anfangswertprobleme weit verbreitet.

Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zu Adams-Moulton-Verfahren wird bei BDF-Verfahren nicht die rechte Seite durch ein Interpolationspolynom approximiert, stattdessen konstruiert man ein Polynom , welches die letzten Approximationen an die Lösung sowie den unbekannten Wert interpoliert:

.

Hierbei sind die entsprechende Lagrange-Basisfunktionen zu den äquidistant verteilten Stützstellen .

Man erhält ein Gleichungssystem für den unbekannten Wert , indem man fordert, dass das Interpolationspolynom die Differentialgleichung im Punkt erfüllt:

.

Im Sinne der Definition allgemeiner linearer Mehrschrittverfahren definiert man nun

.

Dabei ist der Abstand der Stützstellen und die konstante Schrittweite des Verfahrens. Nachdem man geeignete Startwerte z. B. mittels Einschrittverfahren generiert hat, erhält man die restlichen Näherungen über die lineare Rekursionsformel:

Berechnungsformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für lauten die impliziten Berechnungsformeln der BDF(k)-Verfahren:

  • BDF(1) - implizites Euler-Verfahren:
  • BDF(2):
  • BDF(3):
  • BDF(4):
  • BDF(5):
  • BDF(6):

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die BDF-Verfahren sind alle implizit, da der unbekannte Wert in die Gleichung eingeht. BDF(k) besitzt genau die Konsistenzordnung k. Das Verfahren BDF(1) ist das implizite Euler-Verfahren. Dieses und BDF(2) sind A-stabil, die Verfahren höherer Ordnung A()-stabil, wobei der Öffnungswinkel sich mit höherer Ordnung verkleinert. Für k>6 sind die Verfahren instabil. Insbesondere BDF(2) ist aufgrund seiner optimalen Eigenschaften bezüglich der zweiten Dahlquist-Barriere bei der Berechnung steifer Differentialgleichungen sehr beliebt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • E. Hairer, Syvert P. Nørsett, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, Springer Verlag, ISBN 3540566708
  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag, ISBN 3-540-60452-9
  • H.R. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik, Teubner (2004)
  • Curtiss, Hirschfelder Integration of stiff equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., Band 38, 1952, 235–243.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]