Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

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In der Mathematik bezeichnet die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel) eine 1995 vom kanadischen Mathematiker Simon Plouffe entdeckte Summenformel zur Berechnung der Kreiszahl

Die von Plouffe entdeckte Reihe für ist:

Die Formel ist nach den Autoren David H. Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe des Zeitschriftenartikels benannt, in dem sie erstmals veröffentlicht wurde.[1] Das Erstaunliche an dieser speziellen Formel ist, dass man daraus mit ein wenig Umstellen einen Algorithmus ableiten kann, der eine beliebige Ziffer der Darstellung von im Hexadezimalsystem ohne Berechnung der vorherigen Ziffern ermittelt (Ziffer-Extraktion).

Polylogarithmische Konstante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seit Plouffes Entdeckung wurden viele ähnliche Formeln der Gestalt

entdeckt, die sich zu anderen fundamentalen mathematischen Konstanten (in der Darstellung zur Basis ) aufsummieren, wie z. B. zu den polylogarithmischen Konstanten und zur Catalanschen Konstanten G. Man bezeichnet diese Formeln als BBP-Reihen zur Basis b. Die Frage, zu welchen mathematischen Konstanten BBP-Reihen existieren, ist bislang unbeantwortet. Zu folgenden Primzahlen p existiert für eine BBP-Reihe:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 73, 109, 113, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 397, 683, 1321, 1429, 1613, 2113, 2731, 5419, 8191, 14449, 26317, 38737, 43691, 61681, 65537, 87211, 131071, 174763, 246241, 262657, 268501, 279073, 312709, …[2]

23, 47, 53 und 59 sind die kleinsten Primzahlen, die in dieser Liste fehlen. Es ist jedoch unbewiesen, ob zu tatsächlich keine BBP-Reihe existiert. Vermutlich gibt es für Quadratwurzeln , die Eulersche Zahl e und die Eulersche Konstante keine BBP-Reihe, da das (vermutlich) keine polylogarithmischen Konstanten sind.

BBP-Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

An einem Beispiel soll gezeigt werden, wie man die Ziffern einer Zahlendarstellung erhält. So bekommt man z. B. die 4. Dezimalstelle von durch

  • Multiplikation mit
  
  • Wegschneiden des ganzzahligen Teils …
  
  • Multiplikation mit
  
  • und Wegschneiden des gebrochenen Teils …
  

wobei zur Notation der Modulo-Operator und die Gauss-Klammer verwendet werden.

Analog ergibt sich die -te Stelle der Hexadezimaldarstellung von zu

Multiplikation der Plouffe-Formel mit ergibt nach Unterteilung in vier Terme

Da im Ausdruck für nur der gebrochene Teil von eingeht, entfernt man zunächst von jedem einzelnen Summanden den ganzzahligen Teil. In den ersten Summanden von erreicht man das durch Anwendung des Operators auf den Zähler, die restlichen Summanden mit haben keinen ganzzahligen Teil. Damit ändert sich ab zu

und es gilt

unter Verwendung des Zeichens für Kongruenz. Da die veränderten Summen selbst und erst recht ihre Linearkombination noch ganze Zahlen enthalten können, müssen diese noch entfernt werden. Dann kann man mit multiplizieren und den gebrochenen Teil wegschneiden, um schließlich zu erhalten.

Vorteile des BBP-Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Methode, nur die gerade benötigte Stelle von zu extrahieren, erspart den Speicherplatz für die vorherigen Stellen. Weiter kann man einfachere Datentypen für die Speicherung der gewonnenen Stellen verwenden, die wiederum auch kürzere Zugriffszeiten haben, was den Algorithmus letztlich schneller macht. Daher hat diese Methode in vielen Anwendungen alle vorherigen Algorithmen zur Berechnung von (die größere und komplexere Datentypen benötigten) überflüssig gemacht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Marc Chamberland. Binary BBP-Formulae for Logarithms and Generalized Gaussian-Mersenne Primes. Journal of Integer Sequences, Vol. 6, 2003, nur digital (PDF; 175 kB)
  • David H. Bailey. A Compendium of BBP-Type Formulas for Mathematical Constants, 2004, online (PDF; 215 kB)
  • Barry Cipra. Digits of Pi in D. Mackenzie, B. Cipra (eds). What's happening in the Mathematical Sciences Vol. 6, pp29-39. AMS 2006

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. In: Mathematics of Computation. 66, Nr. 218, April 1997, S. 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
  2. Folge A104885 in OEIS

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]