Banachraum

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Ein Banachraum (auch Banach-Raum, Banachscher Raum) ist in der Mathematik ein vollständiger normierter Vektorraum. Banachräume gehören zu den zentralen Studienobjekten der Funktionalanalysis. Insbesondere sind viele unendlichdimensionale Funktionenräume Banachräume. Sie sind nach dem Mathematiker Stefan Banach benannt, der sie 1920–1922 gemeinsam mit Hans Hahn und Eduard Helly vorstellte.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum

,

das heißt ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen mit einer Norm , in dem jede Cauchy-Folge aus Elementen von in der von der Norm induzierten Metrik konvergiert.

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei metrischen Räumen ist die Vollständigkeit eine Eigenschaft der Metrik, nicht des topologischen Raums selbst. Geht man zu einer äquivalenten Metrik über (das heißt zu einer Metrik, die dieselbe Topologie erzeugt), dann kann die Vollständigkeit verloren gehen. Für zwei äquivalente Normen auf einem normierten Raum hingegen gilt, dass die eine genau dann vollständig ist, wenn die andere es ist. Im Falle der normierten Räume ist die Vollständigkeit daher eine Eigenschaft der Normtopologie, die nicht von der konkreten Norm abhängt.

Sätze und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine lineare Abbildung zwischen zwei normierten Räumen ein Isomorphismus, dann folgt aus der Vollständigkeit von die Vollständigkeit von .
  • Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist ein Banachraum. Umgekehrt ist ein Banachraum, der eine höchstens abzählbare Hamelbasis besitzt, endlichdimensional. Letzteres ist eine Konsequenz aus der Baireschen Eigenschaft vollständiger metrischer Räume.
  • Ist ein abgeschlossener Untervektorraum eines Banachraums , dann ist wieder ein Banachraum. Auch der Faktorraum mit der Norm ist dann ein Banachraum.
  • Der erste Isomorphiesatz für Banachräume: Ist das Bild einer beschränkten linearen Abbildung zwischen zwei Banachräumen abgeschlossen, dann ist . Hierbei handelt es sich um den Begriff der topologischen Isomorphie, d.h. es existiert eine bijektive lineare Abbildung von nach sodass sowohl als auch stetig sind.
  • Die direkte Summe normierter Räume ist genau dann ein Banachraum, wenn jeder der Einzelräume ein Banachraum ist.
  • Satz vom abgeschlossenen Graphen: Der Graph einer linearen Abbildung zwischen zwei Banachräumen ist genau dann im Produkt abgeschlossen, wenn die Abbildung stetig ist.
  • Für jeden separablen Banachraum existiert ein abgeschlossener Unterraum von , sodass ist.

Lineare Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Linearer Operator

Sind und normierte Räume über demselben Körper , so wird die Menge aller stetigen -linearen Abbildungen mit bezeichnet.

In unendlichdimensionalen Räumen sind lineare Abbildungen nicht notwendigerweise stetig.

ist ein -Vektorraum und durch

ist eine Norm auf definiert. Ist ein Banachraum, so auch .

Ist ein Banachraum, so ist eine Banachalgebra mit dem identischen Operator als Einselement; die Multiplikationsoperation ist durch die Komposition linearer Abbildungen gegeben.

Dualer Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Dualraum

Ist ein normierter Raum und der zugrunde liegende Körper, dann ist selbst ebenfalls ein Banachraum (mit dem Absolutbetrag als Norm), und man kann den topologischen Dualraum (auch stetigen Dualraum) definieren durch . Er ist in der Regel ein echter Teilraum des algebraischen Dualraums .

  • Ist ein normierter Raum, so ist ein Banachraum.
  • Sei ein normierter Raum. Ist separabel so auch .

Der topologische Dualraum kann verwendet werden, um eine Topologie auf zu definieren: die schwache Topologie. Die schwache Topologie ist nicht äquivalent zur Normtopologie auf , wenn der Raum unendlichdimensional ist. Aus der Konvergenz einer Folge in der Normtopologie folgt immer die Konvergenz in der schwachen Topologie, umgekehrt im Allgemeinen nicht. In diesem Sinne ist die Konvergenzbedingung, die sich aus der schwachen Topologie ergibt, "schwächer".

Es gibt eine natürliche Abbildung von nach (der Bidualraum), definiert durch: für alle und . Aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, dass für jedes aus die Abbildung stetig ist und daher ein Element von . Die Abbildung ist stets injektiv und stetig (sogar isometrisch).

Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Reflexiver Raum

Falls die natürliche Abbildung zudem noch surjektiv (und somit ein isometrischer Isomorphismus) ist, so nennt man den normierten Raum reflexiv. Es gelten folgende Zusammenhänge:

  • Jeder reflexive normierter Raum ist ein Banachraum.
  • Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn reflexiv ist. Äquivalent zu dieser Aussage ist, dass die Einheitskugel von in der schwachen Topologie kompakt ist.
  • Ist ein reflexiver normierter Raum, ein Banachraum und existiert ein beschränkter linearer Operator von nach , dann ist reflexiv.
  • Ist ein reflexiver normierter Raum. Dann ist genau dann separabel, wenn separabel ist.
  • Satz von James Für einen Banachraum sind äquivalent:
    • ist reflexiv.
    • mit , so dass .

Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Tensorprodukt
Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts

Seien und zwei -Vektorräume. Das Tensorprodukt von und ist ein -Vektorraum , versehen mit einer bilinearen Abbildung , die die folgende universelle Eigenschaft besitzt: Ist eine beliebige bilineare Abbildung in einen -Vektorraum , so existiert genau eine lineare Abbildung mit .

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Norm auf dem Tensorprodukt der zugrunde liegenden Vektorräumen zu definieren, unter anderem das projektive Tensorprodukt und das injektive Tensorprodukt. Das Tensorprodukt vollständiger Räume ist im Allgemeinen nicht wieder vollständig. Daher versteht man in der Theorie der Banachräume unter einem Tensorprodukt häufig dessen Vervollständigung, diese hängt natürlich von der Wahl der Norm ab.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden ist der Körper oder , ein kompakter Hausdorffraum und ein abgeschlossenes Intervall. und sind reelle Zahlen mit und . Weiter ist eine σ-Algebra, eine Mengenalgebra und ein Maß.

Bezeichnung Dualraum reflexiv schwach
vollständig
Norm Name
ja ja Euklidischer Raum
ja ja Raum der endlichdimensionalen Vektoren mit der p-Norm
ja ja Raum der endlichdimensionalen Vektoren mit der Maximumsnorm
ja ja Raum der in p-ter Potenz betragsweise summierbaren Folgen
nein ja Raum der betragsweise summierbaren Folgen
nein nein Raum der beschränkten Folgen
nein nein Raum der konvergenten Folgen
nein nein Raum der Nullfolgen; isomorph aber nicht isometrisch zu
nein ja Raum der Folgen beschränkter Variation
nein ja Raum der Nullfolgen beschränkter Variation
nein nein Raum der beschränkten Summen; isometrisch isomorph zu
nein nein Raum der konvergenten Summen; abgeschlossener Unterraum von ; isometrisch isomorph zu
nein nein Raum der beschränkten -messbaren Funktionen auf
nein nein Raum der stetigen Funktionen auf mit der borelschen σ-Algebra
 ? nein ja Raum der beschränkten endlich-additiven signierten Maße auf
 ? nein ja Raum der -additiven Maße; abgeschlossener Unterraum von
 ? nein ja Raum der regulären Borel-Maße; abgeschlossener Unterraum von
ja ja Raum der in p-ter Potenz Lebesgue-integrierbaren Funktionen
 ? nein ja Raum der Funktionen beschränkter totaler Variation
 ? nein ja Raum der Funktionen beschränkter totaler Variation, deren Grenzwert bei verschwindet
nein ja Raum der absolutstetigen Funktionen; isomorph zum Sobolev-Raum
nein nein Raum der glatten Funktionen; isomorph zu

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Überblick über abstrakte Räume der Mathematik. Ein Pfeil ist als Implikation zu verstehen, d.h. der Raum am Pfeilanfang ist auch ein Raum am Pfeilende.

Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum, aber nicht umgekehrt. Nach dem Satz von Jordan-von Neumann lässt sich auf einem Banachraum genau dann ein zur Norm verträgliches Skalarprodukt definieren, wenn in ihm die Parallelogrammgleichung gilt.

Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen oder der Raum aller Distributionen auf , sind zwar vollständig, aber keine normierten Vektorräume und daher keine Banachräume. In Fréchet-Räumen hat man noch eine vollständige Metrik, während LF-Räume vollständige uniforme Vektorräume sind, die als Grenzfälle von Fréchet-Räumen auftauchen. Es handelt sich hierbei um spezielle Klassen lokalkonvexer Räume bzw. topologischer Vektorräume.

Jeder normierte Raum lässt sich bis auf isometrische Isomorphie eindeutig vervollständigen, das heißt als dichten Unterraum in einen Banachraum einbetten.

Fréchet-Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Fréchet-Ableitung

Es ist möglich die Ableitung einer Funktion zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv sieht man, dass, falls ein Element von ist, die Ableitung von im Punkt eine stetige lineare Abbildung ist, die nahe in der Ordnung des Abstandes approximiert.

Man nennt (Fréchet)-differenzierbar in , falls eine stetige lineare Abbildung existiert, so dass

gilt. Der Grenzwert wird hier über alle Folgen mit nicht-Null-Element aus gebildet, die gegen 0 konvergieren. Falls der Grenzwert existiert, schreibt man und nennt es die (Fréchet)-Ableitung von in . Weitere Verallgemeinerungen der Ableitung ergeben sich analog zur Analysis auf endlichdimensionalen Räumen. Gemeinsam für alle Ableitungsbegriffe ist aber die Frage nach der Stetigkeit der linearen Abbildung

Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen , da die linearen Abbildungen von auf einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.

Falls differenzierbar ist in jedem Punkt aus , dann ist eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen keine lineare Abbildung!) und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von definiert werden. Die -te Ableitung im Punkt kann somit als multilineare Abbildung gesehen werden.

Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: Sind und zwei Abbildungen , die in differenzierbar sind, und sind und Skalare aus , dann ist differenzierbar in und es gilt

.

Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig. Wenn eine in und eine in differenzierbare Funktion ist, dann ist die Komposition in differenzierbar und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen

Auch Richtungsableitungen können auf unendlichdimensionale Vektorräume erweitert werden, an dieser Stelle sei auf das Gâteaux-Differential verwiesen.

Integration Banachraum-wertiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter bestimmten Bedingungen ist es möglich Banachraum-wertige Funktionen zu integrieren. Im zwanzigsten Jahrhundert wurden viele verschiedene Zugänge zu einer Integrationstheorie von Banachraum-wertigen Funktionen vorgestellt. Beispiele sind das Bochner-Integral, das Birkhoff-Integral und das Pettis-Integral. In endlichdimensionalen Banachräumen führen diese drei verschiedenen Zugänge zur Integration letztendlich zum selben Integral. Für unendlichdimensionale Banachräume ist dies jedoch im Allgemeinen nicht mehr der Fall. Ferner kann man von gewöhnlichen Maßen zu vektoriellen Maßen, die ihre Werte in Banachräumen annehmen, übergehen und ein Integral bezüglich solcher Maße definieren.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901 (Kolmogoroff)
  • Prof. Dr. A. Deitmar: Funktionalanalysis Skript WS2011/12 <http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/~deitmar/LEHRE/frueher/2011-12/FA/FA.pdf>
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag (1998), ISBN 0-387-98431-3
  • Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. North-Holland. 1986
  • Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag. 2000
  • Anton Willkomm: Dissertation: Über die Darstellungstheorie topologischer Gruppen in nicht-archimedischen Banach-Räumen. Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen. 1976
  • Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5
  • Nelson Dunford; Jacob T. Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory 1958