Banachlimes

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In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden bezeichne den Linksshift

und die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional , das die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • für alle gilt
    • falls für alle , so ist auch

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen definiert ist, nach fortsetzt:

für

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

Aufgrund der Linearität von und der Invarianz unter ist der Banachgrenzwert von gleich .

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus , das nicht von der Gestalt

ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]