Barnessche G-Funktion

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Die Barnessche -Funktion, typischerweise mit bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der -Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.[1]

Formal ist die Barnessche -Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Barnessche -Funktion erfüllt die Differenzengleichung

mit der Normierung Die Differenzengleichung impliziert, dass die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

so dass

wo die Gammafunktion und die -Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die -Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung gestellt wird.[2]

Die Differenzengleichung der -Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die -Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

Multiplikationsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die -Funktion eine Multiplikationsformel:[3]

wobei eine Funktion ist, die durch

gegeben ist. Hierbei ist die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Asymptotische Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

Hierbei bezeichnet die Bernoulli-Zahlen und die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes[4] die Bernoulli-Zahl als geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ernest W. Barnes: The theory of the -function. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, Bd 31 (1900), Seiten 264–314.
  2. Marie-France Vignéras: L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire . In: Astérisque, Bd. 61 (1979), Seiten 235–249, ISSN 0303-1179.
  3. Moshe Y. Vardi: Determinants of Laplacians and multiple gamma functions. In: SIAM Journal on Mathematical Analysis, Bd. 19 (1988), Seiten 493–507, ISSN 0036-1410.
  4. Edmund Taylor Whittaker, George N. Watson: A Course of Modern Analysis. 4. Aufl. Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 978-0-521-09189-3.