Bartlett-Test

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Als Bartlett-Test (auch: Bartlett’s Test) werden zwei verschiedene statistische Tests bezeichnet:

Beide Tests beruhen auf einem Likelihood-Quotienten-Test und setzen eine Normalverteilung voraus.

Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Er prüft, ob k Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z. B. die ANOVA, setzen voraus, dass die Varianzen der k Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 von Maurice Bartlett entwickelt.[1]

Voraussetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Bartlett-Test setzt eine Normalverteilung in den k Gruppen voraus und reagiert empfindlich auf die Verletzung dieser Voraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown-Forsythe-Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

Hypothesen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Barlett-Test testet die Nullhypothese, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

H_0: \sigma_1^2 = \dots = \sigma_k^2 vs. H_1: \exists i,j \quad \text{mit} \quad \sigma_i^2\neq\sigma_j^2

Teststatistik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die k Gruppen Stichprobenvarianzen S_i^2 und Stichprobenumfänge n_i haben, dann wird die Teststatistik definiert als

X^2 = \frac{(N-k)\ln(S_p^2) - \sum_{i=1}^k(n_i - 1)\ln(S_i^2)}{1 + \frac{1}{3(k-1)}\left(\sum_{i=1}^k(\frac{1}{n_i-1}) - \frac{1}{N-k}\right)}

mit N = \sum_{i=1}^k n_i und S_p^2 = \frac{1}{N-k} \sum_i (n_i-1)S_i^2, der gepoolten Varianz.

Die Teststatistik ist X^2-approximativ \chi^2_{k-1}-verteilt mit k-1 Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisation der Teststatistik größer ist als \chi^2_{k-1,\alpha}.

Der Bartlett-Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood-Quotienten-Tests.

Bartlett-Test auf Sphärizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Er prüft im Rahmen der Faktorenanalyse, ob die Korrelation der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der Einheitsmatrix ist. Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, sollte die Faktorenanalyse nicht durchgeführt werden.

Voraussetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Hypothesen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix R gleich der Einheitsmatrix E ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

H_0: R=E\, vs. H_1: R\neq E

Teststatistik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn p die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix R berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

X^2 = -\left(n-1 - \frac{2p+5}{6}\right)\log(|R|)

wobei n die Anzahl der Beobachtungen und |R| die Determinante von R ist.[2]

Die Teststatistik ist X^2-approximativ \chi^2_{p(p-1)/2}-verteilt mit p(p-1)/2 Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisation der Teststatistik größer ist als \chi^2_{p(p-1)/2,\alpha}.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Maurice Bartlett: Properties of sufficiency and statistical tests. In: Proceedings of the Royal Statistical Society Series A. Band 160, 1937, S. 268–282.
  2. SPSS (2007), SPSS 16.0 Algorithms, SPSS Inc., Chicago, Illinois, S. 293.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]