Basiswechsel (Faserprodukt)

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Unter einem Basiswechsel versteht man eine spezielle Sichtweise der Bildung eines Faserproduktes in relativen Situationen, insbesondere in der algebraischen Geometrie. In diesem Zusammenhang wird das Faserprodukt oft auch als pull-back bezeichnet.

Spricht man von Basiswechsel, ist damit die folgende Situation gemeint: Man betrachtet einen Morphismus

als Familie mit Basis Y. Ist nun ein Morphismus

gegeben, so ist „der durch Basiswechsel entlang g“ entstehende Morphismus die kanonische Projektion des Faserproduktes

Die Basis Y wurde also durch die Basis Y′ ausgewechselt. Man sagt dann auch kurz: „f′ ist der Basiswechsel von f unter g.“

Die Symmetrie des Faserproduktes wird vollkommen ignoriert.

Hat g zusätzliche Eigenschaften wie z.B. Flachheit, so spricht man auch von "flachem Basiswechsel" usw.

Spezielle Basiswechsel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Morphismus und die Inklusion eines Punktes mit , so ist der Basiswechsel entlang die Bildung der Faser

Ist eine Teilmenge von , so ist der Basiswechsel entlang der Inklusion

die Einschränkung der Familie auf den Teil der Basis.

„Stabil unter Basiswechsel“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist P eine Eigenschaft von Morphismen einer Kategorie, in der Faserprodukte existieren, so heißt P stabil unter Basiswechsel, wenn die Gültigkeit von P für einen Morphismus fX → Y die Gültigkeit von P für den durch einen Basiswechsel Y′ → Y entstandenen Morphismus

impliziert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Monomorphismen
  • Surjektivität in den Kategorien der Mengen oder topologischen Räume, und in jeder Kategorie die Eigenschaft, eine Retraktion zu sein
  • Faserungen in Modellkategorien, insbesondere Serre-Faserungen
  • Die Eigenschaft stetiger Abbildungen topologischer Räume, abgeschlossen zu sein, d.h. abgeschlossene Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abzubilden, ist nicht stabil unter Basiswechsel: Es sei die Abbildung der reellen Geraden auf einen Punkt; sie ist abgeschlossen. Durch den Basiswechsel erhält man , die kanonische Projektion. Sie ist nicht abgeschlossen, beispielsweise wird die abgeschlossene Teilmenge auf die nicht abgeschlossene Menge abgebildet. Pullback-stabil abgeschlossen sind dagegen die abgeschlossenen Abbildungen mit kompakten Fasern.
  • Viele der Eigenschaften von Morphismen von Schemata, die in der algebraischen Geometrie betrachtet werden, sind stabil unter Basiswechsel. Ist dies für eine Eigenschaft P nicht der Fall, so nennt man die Eigenschaft eines Morphismus, dass jeder Basiswechsel P erfüllt, "universell P": beispielsweise ist ein Morphismus f dann universell abgeschlossen, wenn jeder Basiswechsel von f abgeschlossen ist.