Basler Problem

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Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem Basler Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der reziproken Quadratzahlen, also nach dem Wert der Reihe

Es wurde 1735 durch Leonhard Euler gelöst, der den Reihenwert fand.

Lösungsversuche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1644 fragte sich der Italiener Pietro Mengoli, ob diese Summe konvergiere, und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten. Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker Jakob I Bernoulli von diesem Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich mehrere Mathematiker an der Fragestellung, waren aber alle erfolglos. 1726 begann Leonhard Euler, ebenfalls Basler Mathematiker und Schüler von Jakob Bernoullis Bruder Johann, sich mit dem Problem zu befassen. 1735 fand er die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk De Summis Serierum Reciprocarum.

Lösungswege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eulers erste Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für seine ursprüngliche Lösung betrachtete Euler die Taylorreihe der Kardinalsinusfunktion, also

und setzte sie mit der Produktdarstellung jener Funktion gleich.

Beim (hypothetischen) Ausmultiplizieren des unendlichen Produkts betrachtete er nur diejenigen Produkte, welche und enthalten. Da es keine weitere Möglichkeit gibt, dass ein Term ein quadratisches Glied enthalten kann, müssen die beiden quadratischen Terme auf den jeweiligen Seiten gleich sein.

und daraus folgerte Euler seine Lösung:

Lösung über den Satz von Fubini[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die unendliche Summe der Quadratzahlkehrwerte steht in enger Beziehung zu der unendlichen Summe der sich an ungerader Stelle befindenden Summanden.

Die Summe der geraden Stellen ist das Viertel von der gesamten Summe. Analog ist die Summe der ungeraden Stellen drei Viertel von der gesamten Summe. Folglich ist die gesamte Summe vier Drittel von der Summe der ungeraden Stellen. Im nun Folgenden wird die Summe in ein Integral verwandelt:

Also gilt folgender Ausdruck:

Auch mit dem Dilogarithmus kann dies veranschaulicht werden:

Das gezeigte Integral besitzt keine elementare Stammfunktion. Aber mit dem Satz von Guido Fubini lässt sich dieses Integral lösen. Erster möglicher Lösungsweg:

Im ersten Schritt wurde wie folgt substituiert:

Denn folgender Zusammenhang gilt:

Zweiter möglicher Lösungsweg:

Als Stammfunktion im letzten Schritt diente die Hälfte vom Quadrat des Arcussinus. Insgesamt gilt somit der auf dieser Seite behandelte Zusammenhang:

Über ein Doppelintegral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis über ein Doppelintegral erscheint als eine Übung in William J. LeVeques Lehrbuch zur Zahlentheorie von 1956. Darin schreibt er zu dem Problem: „Ich habe nicht die geringste Ahnung, woher dieses Problem stammt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es bei mir nicht seinen Ursprung hatte.“

Über die geometrische Reihe erhält man zuerst die Darstellung

Mittels einer Variablensubstitution und gelangt man zu

wobei sich die inneren Integrale mit Hilfe des Arkustangens auflösen lassen zu

Mit und erhält man die Schreibweise

Über die Reihenentwicklung des Arkussinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt folgende Formel:

Daraus folgt für alle k ∈ ℕ0:

Folgendes Integral hat folgenden Wert:

Durch Induktion folgt für alle k ∈ ℕ0:

Außerdem gilt:

Durch Synthese der beiden zuletzt genannten Formeln folgt:

Über eine Kotangenssumme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein anderer Beweis nutzt die Kotangenssumme:

Dies kann auf folgende Weise erklärt werden:

Diese Gleichung resultiert aus dem Additionstheorem der Tangens-Funktion.

Deswegen hat folgende Gleichungen folgende Lösungen:

Dabei soll n die Werte von 1 bis m annehmen.

Diese Werte bilden somit die gesamte Lösungsmenge der Gleichung. Der Satz von Vieta besagt, dass man die negative Summe aller Lösungen der gesamten Lösungsmenge dadurch erhält, dass man den Koeffizient des rangmäßig zweithöchsten Gliedes durch den Koeffizient des rangmäßig höchsten Gliedes teilt. Das rangmäßig höchste Glied nimmt den Wert 1 aus 2m+1 an. Das rangmäßig zweithöchste Glied nimmt das Negative des Wertes 3 aus 2m+1 an. Somit gilt folgende Formel:

Diese kann auch elementar unter Verwendung der Eulerschen Identität gezeigt werden.

Deswegen gilt Folgendes:

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch verallgemeinerte Euler das Problem. Er untersuchte dafür die später riemannsche ζ-Funktion genannte Funktion

und fand einen allgemeinen geschlossenen Ausdruck für alle geradzahligen natürlichen Argumente , nämlich

wobei die -te Bernoulli-Zahl darstellt. Zur Ermittlung der Zeta-Funktionswerte von geraden Zahlen dient auch folgende Formel:

Dabei ist k ∈ ℕ. Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente (siehe z. B. Apéry-Konstante) ist bisher unbekannt.

Zusammenhang mit den Fourier-Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Theorie der Fourier-Reihen hat man die auf ganz stetige reelle Funktion

,

wobei nach dem Majorantenkriterium die rechts auftretende Reihe absolut konvergent ist.[A 1]

Für eine gegebene reelle Zahl mit gilt hierbei die Identitätsgleichung

,

was unmittelbar zu der Gleichung

führt.[1]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • C. Edward Sandifer: Euler's solution of the Basel problem—the longer story. In: Robert E. Bradley (Hrsg.): Euler at 300 (= The MAA tercentenary Euler celebration. Spectrum series. Band 5). Mathematical Association of America, Washington DC 2007, ISBN 978-0-88385-565-2, S. 105–117 (englisch).
  • Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: Beyond the Basel Problem. Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. In: The College Mathematics Journal. Band 39, Nr. 5, November 2008, S. 391–394 (englisch).
  • Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die reelle Kosinusfunktion ist beschränkt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Springer, 2019, S. 327–337.