Bellsche Zahl

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Die Bellsche Zahl, Bellzahl oder Exponentialzahl ist die Anzahl der Partitionen einer -elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell. Die Folge beginnt mit

(Folge A000110 in OEIS)

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Partition (Mengenlehre)

Eine Partition einer Menge beinhaltet paarweise disjunkte Teilmengen von , sodass jedes Element aus in genau einer Menge aus vorkommt. Für alle natürlichen Zahlen einschließlich der null bezeichnet nun die Bellsche Zahl die Anzahl der möglichen verschiedenen Partitionen einer Menge mit der Mächtigkeit . Formal:

Die Bellsche Zahl mit dem Index 0 − also die Anzahl der Partitionen der leeren Menge − ist 1 weil die einzige Partition der leeren Menge wieder die leere Menge selbst ist. Dies weil alle Aussagen mit dem Allquantor über die Elemente der leeren Menge wahr sind (siehe leere Menge).

Multiplikative Partitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Multiplikative Partition

Sei eine quadratfreie Zahl, so ist , wobei die Funktion zur Bestimmung der Anzahl der einzigartigen Primfaktoren ist. Dann ist wiederum die Anzahl der unterschiedlichen multiplikativen Partitionen von .

Sei zum Beispiel , so ist (da 30 aus den drei Primfaktoren 2, 3 und 5 besteht) und ist damit die Anzahl der multiplikativen Partitionen. Diese lauten:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Bellschen Zahlen gelten die Rekursionsformel

und die Formel (Dobiński 1877)[1]

somit ist auch das -te Moment einer Poisson-Verteilung mit Erwartungswert 1.

Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist

die exponentiell erzeugende Funktion ist

Außerdem genügen die Bellzahlen der Kongruenz (Touchard 1933)[2]

für natürliche Zahlen und Primzahlen , insbesondere und und, nach Iteration,[3]

Es wird vermutet, dass die kleinste Periode von ist.[4][5] Für Primzahlen ist

für gilt die Kongruenz .[6]

Da die Stirling-Zahl zweiter Art die Anzahl der -Partitionen einer -elementigen Menge ist, gilt

Asymptotik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Bellzahlen sind verschiedene asymptotische Formeln bekannt, etwa

    mit    

mit der Lambert-W-Funktion .

Bellsches Dreieck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

BellNumberAnimated.gif

Die Bellschen Zahlen lassen sich intuitiv durch das Bellsche Dreieck erzeugen, welches − wie das Pascalsche Dreieck − aus Zahlen besteht und pro Zeile ein Element bzw. eine Spalte mehr besitzt. Das Bellsche Dreieck wird gelegentlich auch Aitkens array (nach Alexander Aitken) oder Peirce-Dreieck (nach Charles Sanders Peirce) genannt.

Es wird nach den folgenden Regeln konstruiert:

  1. Die erste Zeile hat nur ein Element: Die Eins (1).
  2. Wenn die -te Zeile (von 1 beginnend) Elemente hat, so wird eine neue Zeile erzeugt. Dabei ergibt sich die erste Zahl der neuen Zeile aus der letzten Zahl der letzten Zeile.
  3. Die -te Zahl der Zeile (für ) ergibt sich aus der Summe des -ten Elements derselben Zeile und des -ten Elements der vorherigen Zeile (also jene mit der Nummer ).
  4. ist nun das -te Element aus der -ten Zeile.

Die ersten fünf Zeilen − erzeugt nach diesen Regeln − sehen wie folgt aus:

 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52

Wegen des zweiten Schritts sind die Bellschen Zahlen sowohl auf der linken als auch auf der rechten Kante des Dreiecks zu sehen, lediglich mit dem Unterschied, dass in der -ten Zeile links die Zahl und rechts die Zahl ist.

Bellsche Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Jahre 1978 formulierte Martin Gardner die Frage, ob unendlich viele Bellsche Zahlen auch Primzahlen sind. Die ersten Bellschen Primzahlen sind:

(Folge A051130 in OEIS) (Folge A051131 in OEIS)
2 2
3 5
7 877
13 27644437
42 35742549198872617291353508656626642567
55 359334085968622831041960188598043661065388726959079837

Die nächste Bellsche Primzahl ist , die etwa entspricht [7]. Diese ist auch die aktuell größte bekannte Bellsche Primzahl. Im Jahre 2002 zeigte Phil Carmody auf, dass es sich bei dieser Zahl wahrscheinlich um eine Primzahl handelt, sie also entweder tatsächlich eine echte Primzahl oder eine Pseudoprimzahl ist. Nach einer 17-monatigen Berechnung mit Marcel Martins Programm „Primo“, welches mit einem Verfahren mit elliptischen Kurven arbeitet, bewies Ignacio Larrosa Cañestro im Jahre 2004, dass es sich bei um eine Primzahl handelt. Gleichzeitig schloss er weitere Bellsche Primzahlen bis zu einer Grenze von aus, welche später von Eric Weisstein auf angehoben wurde.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. G. Dobiński: Summirung der Reihe für , Grunert-Archiv 61, 1877, S. 333–336
  2. Jacques Touchard: Propriétés arithmétiques de certains nombres récurrents, Annales de la Société scientifique de Bruxelles A 53, 1933, S. 21–31 (französisch)
  3. Marshall Hall: Arithmetic properties of a partition function, Bulletin of the AMS 40, 1934, S. 387 (englisch; nur Abstract)
  4. Christian Radoux: Nombres de Bell, modulo p premier, et extensions de degré p de Fp, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences 281 A, 1975, S. 879–882 (französisch)
  5. Peter L. Montgomery, Sangil Nahm, Samuel S. Wagstaff: The period of the Bell numbers modulo a prime (PDF-Datei, 168 kB), Mathematics of computation 79, 2010, S. 1793–1800 (englisch)
  6. Anne Gertsch, Alain M. Robert: Some congruences concerning the Bell numbers, Bulletin of the Belgian Mathematical Society – Simon Stevin 3, 1996, S. 467–475 (englisch)
  7. The Prime Database: "93074010508593618333...(6499 other digits)...83885253703080601131". Abgerufen am 19. Mai 2014.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]