Benutzer:83dot68/Draft/Kerr-Metrik

Metriken für Schwarze Löcher

	statisch	rotierend
ungeladen	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik

Die Kerr-Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende schwarze Löcher. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat. Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik ausschließlich das Feld eines Schwarzen Lochs.

Linienelement

Boyer-Lindquist Koordinaten

Mit den kovarianten

$g_{tt}=-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}\ r}{\Sigma }}\right),\ g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }},\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{\phi \phi }={\frac {\chi \ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\ g_{t\phi }=-{\frac {r_{\rm {s}}\ a\ r\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}$

und den kontravarianten

$g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }},\ g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},\ g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},\ g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma \ \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {r_{\rm {s}}\ a\ r}{\Delta \ \Sigma }}$

metrischen Koeffizienten, wobei

$g_{\mu \alpha }\ g^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu },$

lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d.h. $G=c=1$:

${\mathrm {d} s}^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=g_{tt}\ \mathrm {d} t^{2}+g_{rr}\ \mathrm {d} r^{2}+g_{\theta \theta }\ \mathrm {d} \theta ^{2}+g_{\phi \phi }\ \mathrm {d} \phi ^{2}+2\ g_{t\phi }\ \mathrm {d} t\ \mathrm {d} \phi$

also ausgeschrieben

${\mathrm {d} s}^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}\ r}{\Sigma }}\right){\rm {d}}t^{2}\ +\ {\frac {\Sigma }{\Delta }}{\rm {d}}r^{2}\ +\ \Sigma \ {\rm {d}}\theta ^{2}\ +\ {\frac {\chi \ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ {\rm {d}}\phi ^{2}\ -\ {\frac {2r_{\rm {s}}\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ {\rm {d}}t\ {\rm {d}}\phi$

und der D’Alembert-Operator mit den kontravarianten Metrik-Komponenten

${\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\ {\frac {\partial }{\partial {x^{\mu }}}}\ {\frac {\partial }{\partial {x^{\nu }}}}=g^{tt}\ \left({\frac {\partial }{\partial {t}}}\right)^{2}+g^{rr}\ \left({\frac {\partial }{\partial {r}}}\right)^{2}+g^{\theta \theta }\ \left({\frac {\partial }{\partial {\theta }}}\right)^{2}+g^{\phi \phi }\ \left({\frac {\partial }{\partial {\phi }}}\right)^{2}+2\ g^{t\phi }\ {\frac {\partial }{\partial {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial {t}}}}$

Dabei sind

$r_{\rm {s}}=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\rm {s}}\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta ,$

$M$ die Masse des felderzeugenden Körpers und $r_{\rm {s}}$ der Schwarzschild-Radius. Der Parameter $a$ wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls $J$ der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse $M$ vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn aus (ein lokal drehimpulsfreier Testkörper würde dann eine positive Bewegung entlang der $\phi$-Achse ausführen), und im Fall eines negativen Kerrparameters in die entgegengesetzte Richtung.

Eigenschaften der Kerr-Metrik

Aus dem Linienelement lassen sich folgende Eigenschaften der Kerr-Metrik schließen:

• Sie ist nicht statisch, da sie nicht invariant für die Umkehrung der Zeitrichtung $t\rightarrow -t$ ist.

• Sie ist stationär, da die Komponenten des metrischen Tensors nicht von der Zeit $t$ abhängen.

• Sie ist drehsymmetrisch zur Drehachse, da die Komponenten des metrischen Tensors nicht von $\phi$ abhängen.

• Sie ist invariant gegenüber der gemeinsamen Umkehrung von $t$ und $\phi ,$

$t\ \rightarrow \ -t,\quad \phi \ \rightarrow \ -\phi ;$

diese Eigenschaft ergibt sich aus dem Umstand, dass die Umkehrung der Zeitrichtung eines rotierenden Objekts, einem in entgegengesetzter Richtung rotierenden Objekt entspricht.

• Für $r\ \rightarrow \ \infty$ geht die Kerr-Metrik in die Minkowski-Metrik mit sphärischen Koordinaten über (die Kerr-Metrik ist asymptotisch flach).

• Für $a\ \rightarrow \ 0$ (mit $M\ \neq \ 0,\quad \Delta \ \rightarrow \ r^{2}\ -\ 2\ M\ r$ und $\Sigma \ \rightarrow \ r^{2}$) geht die Kerr-Metrik in die Schwarzschild-Metrik über:

$\mathrm {d} s^{2}\ \rightarrow \ -\ (1\ -\ 2\ M/r)\ {\rm {d}}t^{2}\ +\ (1\ -\ 2\ M/r)^{-1}\ {\rm {d}}r^{2}\ +\ r^{2}\ ({\rm {d}}\theta ^{2}\ +\ \sin ^{2}\theta \ {\rm {d}}\phi ^{2}).$

• Für $M\ \rightarrow \ 0$ (mit $a\ \neq \ 0$), geht die Kerr-Metrik über in

${\rm {d}}s^{2}\ \rightarrow \ -\ {\rm {d}}t^{2}\ +\ {\frac {r^{2}\ +\ a^{2}\ cos^{2}\theta }{r^{2}\ +\ a^{2}}}\ {\rm {d}}r^{2}\ +\ (r^{2}\ +\ a^{2}\cos ^{2}\theta )\ {\rm {d}}\theta ^{2}\ +\ (r^{2}\ +\ a^{2})\ \sin ^{2}\theta \ {\rm {d}}\phi ^{2}.$

Das ist die Minkowski-Metrik der flachen Raumzeit

${\rm {d}}s^{2}\ =\ -\ {\rm {d}}t^{2}\ +\ {\rm {d}}x^{2}\ +\ {\rm {d}}y^{2}\ +\ {\rm {d}}z^{2},$

mit den elliptischen Koordinaten

$x\ =\ {\sqrt {r^{2}\ +\ a^{2}}}\ \sin \theta \cos \phi$

$y\ =\ {\sqrt {r^{2}\ +\ a^{2}}}\ \sin \theta \sin \phi$

$z\ =\ r\ \cos \theta .$

Kerr-Schild Koordinaten

Um die Koordinatensingularität am Ereignishorizont zu vermeiden kann in Kerr-Schild-Koordinaten transformiert werden. In diesen lautet das Linienelement

${\rm {d}}s^{2}={\rm {d}}x^{2}+{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}-{\rm {d}}{\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left({\rm {d}}{\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ {\rm {d}}x+y\ {\rm {d}}y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ {\rm {d}}x-x\ {\rm {d}}y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ {\rm {d}}z}{r}}\right)^{2}$

mit der Koordinatenzeit

${\hat {t}}=t+r_{\rm {s}}\int {\frac {r\ {\rm {d}}r}{\Delta }}\ ,\ \ {\rm {d}}{\hat {t}}={\rm {d}}t+r_{\rm {s}}\ {\rm {d}}r\ r/\Delta$

dem Azimuthalwinkel

${\hat {\varphi }}=\phi +a\ \int {\frac {{\rm {d}}r}{\Delta }}\ ,\ \ {\rm {d}}{\hat {\varphi }}={\rm {d}}\phi +{\rm {d}}r\ a/\Delta$

und der Transformationsregel

$x=(r\ \cos {\hat {\varphi }}+a\ \sin \ {\hat {\varphi }})\ \sin \theta \ ,\ \ y=(r\ \sin {\hat {\varphi }}-a\ \cos \ {\hat {\varphi }})\ \sin \theta \ ,\ \ z=r\cos \theta$

sowie der radialen Koordinate

$r={\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}+{\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)^{2}+4\ a^{2}\ z^{2}}}}{2}}}$

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963 verwendet. Mit $a=0$ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.

Besondere Flächen

Horizonte

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei R=a.

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik $g_{rr}$ gleich Null werden, wenn $\Delta =0$ gilt.

Diese Bedingung wird genau dann erfüllt, wenn

$r\ =\ r_{\text{H}}^{\pm }\ =\ M\ \pm \ {\sqrt {M^{2}\ -\ a^{2}}}.$

Bei maximaler Rotation mit $a=M$ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius $r_{G}=M$ zusammen. Bei minimaler Rotation mit $a=0$ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate $r$ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen. Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich so lange der Spinparameter $a\leq M$ der direkten Beobachtung.. Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.

Ergosphären

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente $g_{tt}$. Die Bedingung $g_{tt}=0$ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

$r_{\text{E}}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.$

Diese zwei Flächen können wegen des Terms $\cos ^{2}\theta$ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären, bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel $\theta$ von $0$ bzw. $\pi$. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig aus während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei $a=M$ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit $r=r_{\text{H}}^{\text{+}}$ und $r=r_{\text{E}}^{\text{+}}$ wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist ${\rm {}}ds^{2}$ mit der Metrik von Gl. $(*)$ entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente $g_{tt}$ der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen mindesten Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ mit der inneren Masse $M$ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) $v_{\rm {zamo}}=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma$ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit $c$ ist.

Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht $U=2\ \pi \ r$, sondern in axialer Richtung

$U_{\phi }=2\ \pi \ {\bar {R}}$ und in polodialer Richtung $U_{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\Sigma }}\ {\rm {d}}\theta$.

Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht $4\ \pi \ r_{\text{H}}^{2}$ sondern

$A_{\rm {H}}=\int _{0}^{\pi }2\ \pi \ {\bar {R}}\ {\sqrt {\Sigma }}\,{\rm {d}}\theta =8\ \pi \ M\ r_{\text{H}}$

mit dem axialen Radius der Gyration

${\bar {R}}={\sqrt {g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta$

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle $a$ mit dem Schwarzschildradius $r_{\rm {s}}$ zusammenfällt.

Spin

Bei $a>M$ würde eine nackte Singularität auftreten, da der Ereignishorizont bei derartig hohen Drehimpulswerten „zerreißt“. Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben dass schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von $a\approx 0{,}998M$). Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt ($a=0,95M$), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese). Diese Begrenzung für schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, so dass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei $a<M$ liegt.

Bei einem Spinparameter von $a=M$ würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren (siehe unten: Mitbewegte Inertialsysteme). Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher, wie z.B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335, sehr nahe an dieses Limit heran.

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit a=0,9M.

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von a=0,95M.

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi Gleichungen erhalten werden. Eine für die numerische Integration geeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lauten in den natürlichen Einheiten $G=M=c=1$, wobei Längen in $GM/c^{2}$, Zeiten in $GM/c^{3}$ und der Spinparameter in $a=Jc/(GM^{2})$ gemessen wird:

${\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}$

${\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}$

${\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}$

$p_{r}={\frac {v^{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}$

${\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}$

${\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}$

$p_{\theta }={\frac {v^{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}$

${\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}$

wobei der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für die Differenzierung nach der Eigenzeit $\tau$, und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter steht.

Dabei sind $v^{r}$, $v^{\theta }$ und $v^{\phi }$ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v={\sqrt {(v^{r})^{2}+(v^{\theta })^{2}+(v^{\phi })^{2}}}={\sqrt {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}}$ entlang der jeweiligen Achsen.

$E$ und $L_{z}$ sind die erhaltene spezifische Energie, sowie die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. $C$ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter Konstante:

$C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I$

Diese gehen mit

$k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+C$

in die Bewegungsgleichungen ein. $p_{\theta }$ ist die polare $\theta$-, $p_{r}$ die radiale $r$- und das konstante $p_{\phi }=L_{z}$ die azimuthale $\phi$-Komponente des Bahndrehimpulses. $I$ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens. Für massebehaftete Testteilchen ist $\mu =-1$ während für masselose Teilchen wie Photonen $\mu =0$ gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher $E,L_{z},C$ und $\mu$. Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:

$E=\ -\ g_{tt}\ {\dot {t}}\ -\ g_{t\phi }\ {\dot {\phi }}={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}\$$={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}$

$L_{z}=g_{\phi \phi }\ {\dot {\phi }}\ +\ g_{t\phi }\ {\dot {t}}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}$

Mitbewegte Inertialsysteme

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts.

Aufgrund des Frame-dragging-Effekts korotiert selbst das Inertialsystem eines drehimpulsfreien und lokal ruhenden Beobachters (in der Literatur auch ZAMO für "zero angular momentum observer" genannt) mit der Winkelgeschwindigkeit

$\Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\rm {s}}\ a\ r}{\chi }}$

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit $t$ des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend weiter Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an. So ist z.B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort $(v)$ bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit $\Omega$ mitbewegten und auf fixem $r$ sitzendem Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

$\varsigma ={\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {g^{tt}}}$.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit $v_{\rm {esc}}$ ergibt sich damit über

$\varsigma ={\frac {1}{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}$.

Für einen Testkörper mit $E=1\ ,\ L=0$ ergibt sich $v^{r}=v_{\rm {esc}}$, d.h. er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von a und r

Photonenorbit auf r°_⊥=(1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90° (Lz=0). Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenem axialen Drehimpuls eine Bewegung entlang der Ф-Achse aus. Das führt dazu dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.

Ein rotierendes schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für a=M gezeigt.

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich indem

${\dot {p}}_{r}=v^{r}=v^{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v^{\phi }\ ,\ \ {\bar {a}}=a/M\ ,\ \ {\bar {r}}=r/M$

gesetzt und nach $v^{\phi }$ aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

$v_{+}^{\circ }={\frac {{\bar {a}}^{2}-2{\bar {a}}{\sqrt {\bar {r}}}+{\bar {r}}^{2}}{{\sqrt {{\bar {a}}^{2}+({\bar {r}}-2)r}}\left({\bar {a}}+{\bar {r}}^{3/2}\right)}}$

für die prograde und

$v_{-}^{\circ }={\frac {{\bar {a}}^{2}+2{\bar {a}}{\sqrt {\bar {r}}}+{\bar {r}}^{2}}{{\sqrt {{\bar {a}}^{2}+({\bar {r}}-2){\bar {r}}}}\left({\bar {a}}-{\bar {r}}^{3/2}\right)}}$

für die retrograde Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit $v=1,\ \mu =0$ ergibt sich daher

$r_{+}^{\circ }=r_{\rm {s}}\ \left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(-{\bar {a}})\right)+1\right)$

für den prograden Photonenkreisradius (in Boyer-Lindquist-Koordinaten), und

$r_{-}^{\circ }=r_{\rm {s}}\ \left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(+{\bar {a}})\right)+1\right)$

für den retrograden. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf

$r_{\perp }^{\circ }=r_{\rm {s}}\ {\sqrt {1-{\frac {{\bar {a}}^{3}}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\frac {1-{\bar {a}}^{2}}{\left(1-{\frac {{\bar {a}}^{2}}{3}}\right)^{3/2}}}\right)\right)+{\frac {r_{\rm {s}}}{2}}$

Zwischen $r_{+}^{\circ }$ und $r_{-}^{\circ }$ sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben, kann der zum jeweiligen $a$ und $r$ passende Inklinationswinkel gefunden werden indem die radiale Impulsableitung ${\dot {p}}_{r}$ wie oben auf 0, der initiale Breitengrad $\theta _{0}$ auf den Äquator gesetzt und nach $v^{\phi }$ aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf $r=3M$ ergibt sich außerdem für alle $a$ ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit $a=0$ fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf $r^{\circ }=3M$ und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von $a=M$ würden sich auf $r=M$ sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit $v_{+}^{\circ }=1$ als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit $v_{+}^{\circ }=1/2$ ergeben. Der Grund dafür ist dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können wenn sie wie im Fall von $a=M$ den gleichen lokalen Umfang ${\bar {R}}/(2\ \pi )$ einnehmen.

Literatur

• Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193
• Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
• David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6
• Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott, The Kerr Spacetime, Cambridge UP 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109)

Weblinks

• Schwarze Löcher: Kerr-Metrik, Artikel von Andreas Müller in Wissenschaft-Online, August 2007
• Gravitation im Universum: Die Kerr-Lösung von Hendrik van Hees, Website des GSI Helmholtzzentrums für Schwerionenforschung