Benutzer:Dringend/Besselsche Elemente

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Totale Sonnenfinsternis:
Fundamentalebene (rot) mit karthesischen Koordinaten und Erdoberfläche,
je mit den Umrissen (grün) des vom Mond erzeugten Kern- und Halbschattens

Mit den Besselschen Elementen wird der Schatten beschrieben, der von einem im Licht eines anderen stehenden Himmelskörpers stammt. Die Beschreibung erfolgt im engeren Sinne mit Hilfe der auf eine fiktive Ebene (Besselschen Ebene oder Fundamentalebene), die den Erdmittelpunkt enthält, fallenden Schattenkreise (Kern- und Halbschatten).

Die Ermittlung der Besselschen Elemente ist ein abstrakter erster Schritt, der der Voraussage der realen Schatten-Verhältnisse an bestimmten Orten auf der Erdoberfläche vorausgeht. Mit ihrer Hilfe wird vorwiegend der zeitliche Verlauf des bei einer Sonnenfinsternis entstehenden Mond-Schattens an einem vorgegebenen Ort auf der Erde, beziehungsweise seine mit der Zeit veränderliche Ausdehnung über die Erdoberfläche gefunden.

Die Besselschen Elemente wurden in den 1820er Jahren von Friedrich Wilhelm Bessel eingeführt und später von William Chauvenet verfeinert. Dabei handelt es sich um Werte für geometrische Größen, die in der Astronomie als Elemente bezeichnet werden. Sie werden für mehrere aufeinanderfolgende Zeitpunkte im Zeitraum der Bedeckung (bei Sonnenfinsternissen in der Regel im Abstand von 10 Minuten) ermittelt.

Allgemeine Verwendung der Besselschen Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Besselschen Elementen kann außer bei Sonnenfinsternissen auch bei Stern- oder Planetenbedeckungen zum Beispiel durch den Mond und bei Transiten zum Beispiel der Venus oder des Merkurs vor der Sonne gearbeitet werden, um letztlich ein Bild der auf der Erdoberfläche entstehenden Schattenfläche zu gewinnen und eine Vorstellung zu erhalten, wie die Bedeckung einem Beobachter von einem Ort auf der Erde aus erscheint. Eine Mondfinsternis wird von der Erde aus beobachtet, wobei sie von jedem Ort auf der Erdoberfläche aus gleich erscheint. Die einer irdischen Sonnenfinsternis entsprechende Aufgabe, die jetzt vom Beobachtungsort auf der Mondoberfläche abhängige Finsterniserscheinung zu beschreiben, entfällt. Häufig wird dennoch formal von Besselschen Elementen für eine Mondfinsternis gesprochen, weil sich die für die Beschreibung der von der Erde aus gesehenen Verfinsterung nötigen geometrischen Größen sehr ähnlich wie die für eine Sonnenfinsternis gebrauchten Elemente berechnen lassen.[1][2]

Astronomische Elemente in astronomischen Jahrbüchern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Besselschen Elemente werden heute für bevorstehende Sonnenfinsternisse und andere von der Erde aus beobachtbare Bedeckungen zwischen Himmelskörpern von nationalen astronomischen Gesellschaften berechnet und in Jahrbüchern (zum Beispiel im nordamerikanisch/britischen Astronomical Almanac)[3] veröffentlicht. Dort sind sie eine Ergänzung zu den Ephemeriden (einer anderen Gruppe astronomischer Elemente), mit denen die voraus bestimmten, zeitlich veränderlichen Positionen der beweglichen Himmelskörper (Sonne, Mond, Planeten u.a.) und andere Kenndaten in allgemeiner Form bekannt gemacht werden. Die Besselschen Elemente sind ihrem besonderen Zweck dienende Umrechnungenen der in der Regel nur einmal pro Tag angegebenen Ephemeriden der beiden beteiligten Himmelskörper. Sie werden nur für die Dauer der jeweiligen Bedeckung – aber in kurzen Zeitabständen – erstellt. Die Ephemeriden selbst beruhen auf den sogenannten Bahnelementen, der anschaulichen primären Gruppe astronomischer Elemente.[4]

Zur Berechnung der Besselschen Elemente gibt es heute von der Allgemeinheit benutzbare elektronische Rechenprogramme. Häufiger werden interessierten Laien Rechenprogramme zur Verfügung gestellt, die von bekannten Besselschen Elementen ausgehend zur Ermittlung der örtlichen Verhältnisse auf der Erdoberfläche bei einer Sonnenfinsternis (zum Beispiel die Bedeckungsdauer an einem bestimmten Ort oder der Pfad, auf dem sich der Kernschatten über die Erdoberfläche bewegt) dienen. Noch einfacher ist es, sich an die zuverlässig für das gesamte Beobachtungsgebiet jeder Sonnenfinsternis berechneten und frühzeitig veröffentlichen Voraussagen der NASA zu halten.[5]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fundamentalebene mit den Besselschen Elementen
l1, l2, x und y
(mit x- und y-Achse und äußerem Kreis, der die Begrenzung der mittig geschnittenen Erde darstellt).

Fundamentalebene und fundamentales Koordinatensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fundamentalebene enthält den Erdmittelpunkt und ist zu jeder Zeit so orientiert, dass sie von der Linie, die durch die Mittelpunkte des schattenwerfenden und des von ihm bedeckten leuchtenden Himmelskörpers geht (der Schattenachse), senkrecht getroffen wird.

Im Erdmittelpunkt wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem errichtet, das als fundamentales oder Besselsches Koordinatensystem bezeichnet wird. Seine x/y-Ebene ist mit der Fundamentalebene identisch. Die z-Achse ist eine Parallele zur Schattenachse, ihre positive Hälfte und die beiden Himmelskörper befinden sich auf derselben Seite der x/y-Ebene. Die x-Achse ist die Schnittgerade der Fundamentalebene mit der Äquatorebene, ihre positive Richtung ist von der über der Fundamentalebene befindlichen Erdoberfläche aus gesehen Osten. Angewendet wird ein rechtshändiges Koordinatensystem, womit sich Norden als positive Richtung der y-Achse ergibt.

Besselsche Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besselsche Elemente 1 und 2:
Die Orientierung der Fundamentalebene wird durch die Koordinaten Deklination d und Stundenwinkel μ im ortsfesten äquatorialen Koordinatensystem für die Richtung der positiven z-Achse angegeben. Der ortsfeste Bezug ist der Nullmeridian (durch Greenwich).

Üblicherweise wird zuerst die Rektaszension im rotierenden äquatorialen Koordinatensystem und daraus anschließend der ortsfeste Stundenwinkel μ mit der Formel μ = θ - a errechnet. Darin ist θ die Sternzeit von Greenwich.

Besselsche Elemente 3 und 4:
Bei einer Sonnenfinsternis entstehen in der Fundamentalebene zwei Schatten-Randkreise (von Halb- und Kernschatten des Mondes) mit den Radien l1 und l2.

Besselsche Elemente 5 und 6:
Die Schatten-Randkreise haben ein gemeinsames Zentrum, dessen x- und y-Koordinatenwerte angegeben werden.

Besselsche Elemente 7 und 8:
Neben den bisher aufgezählten sechs Größen, die sich alle im Verlauf der Bedeckung ändern, gibt es bei einer Sonnenfinsternis wegen der Kegelform der Mondschatten noch zwei weitere, letztlich die Schattenränder auf der Erdoberfläche bestimmende Größen, die sich aber während der Finsternis wenig ändern und als konstant betrachtet werden können: der halbe Kegelwinkel f1 des Halb- und f2 des Kernschattens. Sie vervollständigen die Besselschen Elemente für eine Sonnenfinsternis auf die Gesamtzahl Acht.[6]

Ermittlung der Besselschen Elemente für Sonnenfinsternisse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ortsvektoren rs und rm von Sonne und Mond  →
Schattenachse und deren Richtungsvektor (rs - rm),
der die z-Achse bildet
Radien ρs und ρm von Sonne und Mond  →
Kegelwinkel f1 und f2 und
Radien der Schattenkreise l1 und l2 (nicht gezeichnet)

Die acht für eine Sonnenfinsternis gebrauchten Besselschen Elemente werden aus acht anderen Bestimmungsstücken ermittelt. Diese sind:

  • die Richtungswinkel von Sonne und Mond: vier Bestimmungssücke (je zwei für einen bestimmten Zeitpunkt im ortsfesten Äquatorialen Koordinatensystem von Greenwich angegebene Winkel),
  • die Entfernung der Sonne und des Mondes zu einem bestimmten Zeitpunkt vom Erdmittelpunkt: je ein Bestimmungsstück,
  • Die Größe (Radius) der Sonne und des Mondes: je ein Bestimmungsstück (konstant).

Für die Angabe der Richtung (Besselsche Elemente 1 und 2: und ) und der Lage (Besselsche Elemente 5 und 6:
und ) der Schattenachse werden die Richtungswinkel und die Entfernungen von Sonne und Mond benötigt. Sie ergeben zusammen die Ortsvektoren und von Sonne und Mond, aus denen die Schattenachse folgt (s. nebenstehende Abbildung).

Wegen der im Vergleich zu Sternen geringen Entfernung der Sonne und des Mondes von der Erde und ihrer daraus folgenden deutlich feststellbaren scheinbaren Größe wirft der Mond kegelförmige Schatten (Kern- und Halbschatten). Die Besselschen Elemente 3 u. 4 und 7 u. 8, die die Größe der Schattenkreise und und die Winkel der Schattenkegel und angeben, benötigen zu ihrer Bestimmung zusätzlich die Radien und von Sonne und Mond (siehe nebenstehende Abbildung).

Die Abstände von Sonne und Mond von der Erde sind wesentlich zu groß beziehungsweise ihre Durchmesser wesentlich zu klein, um die Besselschen Elemente graphisch zu ermitteln. In den beiden nebenstehenden Abbildungen, die die Zusammenhänge grundsätzlich zeigen, sind die Verhältnisse übertrieben unmassstäblich dargestellt. Die Ermittlung der Besselschen Elemente lässt sich mit erforderlicher Genauigkeit nur rechnerisch durchführen.

Berechnung der Besselschen Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elemente Deklination und Stundenwinkel der Schattenachse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im rotierenden Äquatorialsystem werden die Ortsvektoren von Sonne und Mond (siehe obere der beiden oben stehenden Abbildungen) mit folgenden Gleichungen als Spaltenvektoren beschrieben:[7][8]

(1)      
(2)    

In den Spalten stehen den karthesischen Vektorkomponenten zugeordnete trigonometrische Funktionen der polaren Winkel übereinander. Mit den Entfernungen von der Erde multipliziert sind es die tatsächlichen Vektorkomponenten x,y und z der Ortsvektoren.

Der Differenzvektor     liegt in der Schattenachse, zu der die z-Achse des Fundamentalsystems parallel sein soll. Der durch Bezug auf seine Länge    zum Einheitsvektor gemachte Differenzvektor ist identisch mit dem Einheitsvektor    der z-Achse des fundamentalen Koordinatensystems:

(3)             [7]

Der Einheitsvektor    hat im Äquatorsystem analoge Koordinaten wie in den Gleichungen (1) und (2), wobei anstatt Deklination    und Rektaszension    die gesuchten Polarwinkel    und    der z-Achse des Fundamentalsystems stehen:

(4)            

In Gleichung (3) werden die Geichungen (1) und (2) eingesetzt. Dadurch werden durch einzelne Subtraktionen die drei kartesischen Vektorkomponenten   ,    und    gewonnenen [9] Jede ist durch die Länge (Betrag) des Differenzvektors zu dividieren. Letztere ist:

(5)            

Jeder der drei gebildeten Quotienten wird mit der ihm entsprechenden Komponente aus Geichung (4) gleich gesetzt. Dadurch entstehen drei Geichungen für die gesuchten Unbekannten   (beziehungsweise   , siehe oben) und  .

Elemente x- und y-Koordinate der Schattenachse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorgegeben ist, dass sich die x-Achse des Fundamentalsystems in der Äquatorebene befindet, und dass sie nach Osten zeigt. Unter Beibehaltung eines rechtshändigen Koordinatensystems zeigt die y-Achse folglich in die Gegend des Himmels-Nordpols.

Gemäß dieser Vorgaben lauten die Geichungen für die beiden anderen Einheitsvektoren des Fundamentalssystems wie folgt:[7][10]

(6)            

Mit dem Ortsvektor des Mondes (Gleichung (2)) und den mit bekannten   und   ermittelten Einheitsvektoren (Gleichungen (4) und (6)) werden die Koordinatenwerte des Mondes im Fundamentalsystem gefunden. Die Werte für x und y sind definitionsgemäß für Sonne und Mond gleich. Es sind die beiden zu errechnenden Besselchen Elemente und (Gleichungen (7) und (8)). Der zm-Wert für den Mond (Gleichung (9)) wird für die Berechnung der Schattenradien benötigt. Die Koordinatenwerte x, y und zm sind Skalarprodukte aus dem Ortsvektor des Mondes und dem jeweiligen karthesischen Einheitsvektor im fundamentalen Koordinatesystem. Die gefundenen Ausdrücke [7] fallen unter Anwendung von Additionstheoremen relativ kurz aus:

(7)      
(8)      
(9)    

Elemente Kegelwinkel des Halb- und des Kernschattens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Besselchen Elemente und sind die Winkel zwischen der Schattenachse und den Tangenten an Sonne und Mond, die die Kegelmäntel des Halb- und Kernschattens bilden. Die Besselsche Fundamentalebene wird für ihre Ermittlung nicht gebraucht. Sie können mittels eines Hilfsdreiecks gefunden werden (siehe untere der beiden oben stehenden Abbildungen). Dabei werden die Tangenten parallel verschoben, so dass sie durch den Mondmittelpunkt gehen. Hypotenuse beider Dreiecke ist die Verbindungslinie des Sonnen- und Mondmittelpunkts, die Gegenkatheten der gesuchten Winkel bilden die auf den parallel verschobenen Tangenten rechtwinklig stehenden Strecken durch den Sonnenmittelpunkt. In diesen rechtwinkligen Dreiecken ist jeweils die Länge zweier Seiten bekannt, zum einen die Entfernung zwischen Sonne und Mond, zum anderen die Länge der Gegenkathete, die beim Halbschatten der Summe aus Sonnen- und Mondradius entspricht, beim Kernschatten der Differenz dieser beiden Größen. Somit gilt:[7]

Elemente Radius des Halb- und des Kernschattens auf der Fundamentalebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die letzten beiden noch fehlenden Besselschen Elemente und zu errechnen, die Radien von Halb- und Kernschatten in der Fundamentalebene, wird der Abstand der Schnittpunkte der Tangenten mit der Schattenachse von der Fundamentalebene benötigt. Für den Halbschatten liegt dieser mit bezeichnete Punkt auf der Schattenachse zwischen Sonne und Mond und stellt die Spitze des Halbschattenkegels dar. Der Schnittpunkt liegt ebenfalls auf der Schattenachse und ist die Spitze – also der Endpunkt – des Kernschattens. Dabei gilt:[7]

Mittels dieser Abstände lassen sich die Radien der Schattenkegel in der Fundamentalebene wie folgt ermitteln:[1]

Wenn die Kegelspitze des Kernschattens vom Mond aus gesehen hinter die Fundamentalebene fällt, also eine totale Sonnenfinsternis vorliegt, ist negativ. Im anderen Fall ist es positiv, es findet eine ringförmige Sonnenfinsternis statt. Entsprechend der Konvention wird auch das Vorzeichen des Kernschattenradius so gewählt, dass dieser im Falle einer totalen Sichtbarkeit negativ angegeben wird, bei ringförmiger Sichtbarkeit hingegen positiv. Die Größen und sind immer positiv.

Praktische Anwendung der Besselschen Elemente bei Sonnenfinsternissen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b P. Kenneth Seidelmann (Hrsg.): Explanatory Supplement of the Astronomical Almanac, University Science Books, 1992, ISBN 0-935702-68-7, S. 467-71 Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „Seidel“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  2. Mondfinsternisse fehlten in den Betrachtungen von Bessel. Er widmete seine Theorie Erscheinungen, bei denen sich der der Erde näherere Himmelskörper zwischen sie und dem entfernteren schiebt. Vgl. Friedrich Wilhelm Bessel: Astronomische Untersuchungen, Zweiter Band, Königsberg, 1842, Seite 95: X. Analyse der Finsternisse [1]
  3. Astronomical Almanac – Data for Astronomy, Spaces Sciences, ..., zum Beispiel für das Jahr 2013 [2]
  4. H.Peter und M.Styx: Astronomie: alte Geschichten und neue Physik, Seite 17 [3]
  5. NASA Eclipse Web Site: Solar Eclipse Page [4]
  6. In der Praxis werden oft weitere Größen (Elemente) aufgelistet. Dabei handelt es sich vorwiegend um Faktoren, die zur Interpolation für weitere Wertesätze benötigt werden, wenn das zeitliche Intervall zwischen den angegebenen Wertesätzen relativ groß ist, oder nur ein Wertesatz für einen einzigen Zeitpunkt angegeben wird. Mitunter werden auch zusätzliche Größen angegeben, die zu einem oder mehreren der 8 Grund-Elemente redundant sind.
  7. a b c d e f Berechnung der Besselschen Elemente zum Beispiel von Robin M. Green: Sperical Astronomy, Cambridge University Press, 1985, Seiten 450 - 453, ISBN 0-521-23988-5
  8. Siehe auch dieses Grundschema für die karthesischen Koordinaten als Funktionen der polaren Koordinaten.
    .
    (  →    und    →   )
  9. beispielsweise ist  
  10. Beide Geichungen lassen sich aus Geichung (4) herleiten:
    • Einheitsvektor   : Rektaszension a+90° anstatt a; Deklination d = 0,
    • Einheitsvektor   : Rektaszension a; Deklination d+90° anstatt d.
    Zusätzliche Kontrollen:
    • Der Einheitsvektor    ist von d unabhängig, denn er liegt in der Äquatorebene.
    • Die Fundalebene bildet mit der Äquatorebene den Winkel d+90°, also ist sin (d+90°) = cosd die dritte Koordinate des Einheitsvektors    .