Benutzer:Willi windhauch/Spielwiese

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Einleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Photonenrakete ist im Prinzip nichts Anderes als ein fliegender Scheinwerfer. Nun ist abgestrahltes Licht zwar das beste Treibmittel, welches sich theoretisch denken lässt, und zwar aus dem einfachen Grunde, weil nichts schneller ist als Licht. Allerdings bedarf es gewaltiger Mengen von Licht, um einen brauchbaren Schub zu erzeugen.

Um jetzt auf möglichst einfache Weise ein paar Gleichungen zum Thema herzuleiten, denken wir uns das fiktive Element Photonium aus, welches sich mit einer Halbwertszeit von 240,5 Tagen in Licht verwandelt.

Unsere Photonenrakete soll zunächst vollständig aus Photonium bestehen, wobei das ausgestrahlte Licht wie bei einem Laserstrahl nur in eine Richtung abgestrahlt wird, so dass ein Vortrieb in die entgegengesetzte Richtung entsteht.

Wenn wir vereinbaren, dass die Startmasse der Rakete = 1 ist, so können wir, gemäß den Gesetzen des radioaktiven Zerfalls, für die Raketenrestmasse m schon mal sagen:


Mathematische Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(siehe Tabellenwerte in Spalte 6)

Wobei t’ = Raketeneigenzeit und k = Zerfallskonstante ~ -ln(0,5)/0,658Jahre ~ 1,05/Jahr ~ 3,34*10^-8/s


Mittels des Impulserhaltungsgesetzes lässt sich die nächste Gleichung erstellen, die nur deswegen so einfach ausfällt, weil ja das abgestrahlte Licht für einen Beobachter welcher auf der Erde zurück bleibt, immer Lichtgeschwindigkeit haben muss, ganz egal, wie schnell die Rakete sich entfernt. (siehe spezielle Relativitätstheorie)


T = Masse des zerstrahlten Photoniums, 1-T = Photoniumrestmasse, c = Lichtgeschwindigkeit v = Raketengeschwindigkeit

Da jedoch (1-T) die relativistische Masse des Restphotoniums sei, ist noch folgende Gleichung nötig.

Kombiniert man Gleichung (2) und (3), wobei T eliminiert wird, so erhält man (v/c) = (1 - m²)/(1 + m²)

Eliminiert man aus der letzten Gleichung m mit Hilfe von (1), so ergibt sich: v = c * [1 - e^(- 2 *k*t’)] / [1 + e^(- 2 *k*t’)] bzw:

(siehe Tabellenwerte in Spalte 4)

Wegen der Zeitdilatation gilt: dt = dt’ / √(1 – v²/c²) = dt’/√[1 – tanh²(k*t’)] =dt’ * cosh(k*t’) und deswegen kann man dt in (4) eliminieren, v links liegen lassen, den Hyperbeltangens in einen Hyperbelsinus verwanden et voila…

(siehe Tabellenwerte in Spalte 5)

Daraus die Stammfunktion ergibt:

(siehe Tabellenwerte in Spalte 3)

Diese Funktion gibt also an, welchen Weg die Rakete während ihrer Eigenzeit t’ zurück legt. Jetzt nehmen wir nochmals die Gleichung dt/dt’ = cosh(k*t’) und bilden daraus die Stammfunktion:


(siehe Tabellenwerte in Spalte 2)

Und so wissen wir, welche Zeit(t) auf der Erde vergangen ist während in der Rakete die Zeit t’ verstreicht. Aus (7) folgt: k*t’ = arsinh(k*t) und weil ein Blick in die Matheformelsammlung uns verrät: cosh[arsinh(x)] = √(1+x²) können wir aus Gleichung (6) die Raketenzeit (t’) eliminieren und durch die Erdzeit (t) ersetzen. Zugleich bilden wir noch die nächsten beiden Zeitableitungen.




Wenn wir die letzte Gleichung betrachten, sehen wir, dass wir für k*t << 1 den Nenner vernachlässigen können und dann dasteht: a = c*k, was in unserem konkreten Beispiel hieße:

a = c * 3,34*10^-8/s ~ 10m/s² =a’

Mit anderen Worten: bei einer 8-monatigen Halbwertszeit des Elementes "Photonium" beschleunigt die Rakete kurz nach ihrem Start mit 10m/s² ~ 1G und dies ist auch genau die Schwerebeschleunigung (a’), welche eventuelle Raketeninsassen spüren würden.

Geben wir noch Gleichung (9) eine andere Gestalt: 1/(1 – v²/c²) = (1 + k²*t²) und formulieren (8) und (10) neu


Jetzt betrachten wir die kinetische Energie der Restrakete, die man auch so ermitteln kann, indem man die Eigenbeschleunigung a’ = c *k mit der Beschleunigungsstrecke (s) und der Masse (m) multipliziert, wobei rauskommt.

Beschleunigungsstrecke und kinetische Energie sind also zueinander proportional

Für ein Lichtjahr (c * 31557600s) errechnet sich beispielsweise:

E = m * 10m/s² * c * 31557600s ~ 1,05 * m * c²


Technische Probleme bei der praktischen Umsetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit anderen Worten: Beim Aufprall auch winzigster Mikrometeoriten wird pro Lichtjahr Beschleunigungsstrecke (mit 1G) eine Energie von ca. m* c² frei! (Der Buchstabe m kann hier auch für die Masse des Mikrometeoriten stehen)

Zum Vergleich, bei der Explosion einer Wasserstoffbombe wird nur höchstens ein Anteil von (1/100) * m*c² an Energie freigesetzt.

Ein weiteres Problem bei der technischen Umsetzung derartiger Visionen dürfte auch die Handhabung des lichtstrahlenden Materials sein. Ein kg „Photonium“ würde beispielsweise mit folgender Leistung leuchten: m * k * c² ~ 3 Gigawatt, das entspricht in etwa der Leistung zweier größerer Kernkraftwerke!

Und da das Element „Photonium“ bis jetzt noch nicht entdeckt wurde, käme als einziger Lichtstrahler nur eine Kombination aus Materie und Antimaterie in Frage. Und größere Mengen an Antimaterie zu lagern, dürfte auch nicht ganz so einfach sein, da sie sich beim Kontakt mit normaler Materie sofort zersetzt und dabei noch viel größere Energiemengen freisetzt, als im letzten Rechenbeispiel, wo nur 30 Milligramm „Photonium“ pro Sekunde umgewandelt werden.


Erläuterung der Tabelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Und jetzt ein paar Worte zu folgender Tabelle. Mal angenommen, wir wollten zu einem Stern reisen, welcher 20,4 Lichtjahre von der Erde entfernt ist. Dann müssten die Reisenden die Schubkraft ihrer Rakete erst mal 3 Jahre lang auf 10m/s² (ca. 1 G) einstellen. Für die auf der Erde zurück gebliebenen würde diese Beschleunigungsphase 11,2 Jahre dauern.

Nun hat man also 99,6-prozentige Lichtgeschwindigkeit erreicht, die „scheinbare Geschwindigkeit“ liegt jedoch inzwischen bei 11,7- facher Lichtgeschwindigkeit. Darunter könnte man sich Folgendes vorstellen:

Nehmen wir an, zwischen Erde und Zielstern ist ein Seil gespannt und alle 300 000 km (=1 Lichtsekunde) befindet sich darin ein Knoten. Dann sehen die Raketeninsassen pro Sekunde 11,7 Knoten an ihrem Bordfenster vorbei rauschen, das macht jedoch nur „scheinbar“ 11,7 – fache Lichtgeschwindigkeit und zwar wegen der relativistische Längenkontraktion.

Würden die Reisenden hingegen nur einen einzelnen Knoten betrachten und messen, wie lange der braucht, um an ihrem 30 cm breiten Bordfenster vorbei zu ziehen, so würden sie ein klein wenig mehr als eine Nanosekunde messen und 30cm/1,0043Nanosekunden ergibt halt nur 99,6 – prozentige Lichtgeschwindigkeit.

So, wir haben nun Halbzeit und müssen uns die nächsten 3 Jahre auf die Ankunft an unserem Zielstern vorbereiten, also wieder mit 1G bremsen. Von den 3 Millionen kg Startmasse (entspricht einer voll getankten Saturn V Rakete) sind noch 4,3% (=128 000kg) übrig, nach der Ankunft am Ziel davon nochmals 4,3% (=5400 kg). Siehe dazu auch Spalte 6 der Tabelle.

Am Ziel drehen wir wieder um, wobei nach der 3-jährigen Beschleunigungsphase 231 kg übrig sind und endlich, nach 12 Raketenjahren und 45 Erdjahren haben 9,8 kg von ursprünglich 3000 Tonnen wieder ihre irdische Heimat erreicht.


Raketenzeit

in Jahren

Erdzeit in

Jahren

zurückgelegter Weg

in Lichtjahren

Geschwindigkeit

ds/dt (c=1)

"scheinbare"

Geschwindigkeit ds/dt’(c=1)

Restanteil an

der Startmasse

1 1,20 0,58 0,78283380 1,26 0,3490123
2 3,84 3,01 0,97075873 4,04 0,1218096
3 11,2 10,2 0,99639181 11,7 0,0425130
4 32,0 31,1 0,99955979 33,7 0,0148376
5 91,7 90,8 0,99994637 96,6 0,0051785
6 263 262 0,99999347 277 0,0018074
7 753 752 0,99999920 793 0,0006308
8 2158 2157 0,99999990 2271 0,0002202
9 6182 6181 0,99999999 6507 0,0000768


Noch ein abschließendes Wort zu den Quellen: Sämtliche beschriebenen mathematischen Umformungen beruhen auf eigenen Überlegungen, welche aber von jedem überprüft werden können, welcher Grundkenntnisse in Integral und Differentialrechnung, sowie in der speziellen Relativitätstheorie besitzt.

Die Korrektheit meiner Formeln fand ich allerdings nachträglich durch einen Blick in folgende Quellen bestätigt.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

http://www.vhs-rapperswil-jona.ch/Relativitaetstheorie.pdf Seite 39 - 43

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Roman Sexl, Herbert K. Schmidt: Raum Zeit Relativität. Seite 161 – 168. Springer 1990 ISBN 3-540-41549-1.