Berechenbare Zahl

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Als berechenbare Zahl wird eine reelle Zahl bezeichnet, wenn es eine Berechnungsvorschrift gibt, die Approximationen zu jeder vorgegebenen Genauigkeit liefern kann. Insbesondere gibt es nicht-berechenbare Zahlen.

Definition[Bearbeiten]

Eine reelle Zahl r heißt berechenbar, wenn es eine berechenbare Funktion gibt, die jeder natürlichen Zahl i eine rationale Zahl q zuordnet, sodass \left|r-q\right|<\frac{1}{i}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Alle natürlichen, rationalen und algebraischen Zahlen sind berechenbar, aber auch viele transzendente Zahlen, z. B. die Kreiszahl π oder die Eulersche Zahl e. Die Haltezahl sei definiert als diejenige Binärzahl zwischen 0 und 1, deren i-te Stelle nach dem Komma angibt, ob die i-te Turingmaschine für die Eingabe i terminiert (1) oder nicht (0). Die Haltezahl ist nicht berechenbar, denn das Halteproblem ist unentscheidbar.

Da jedes Programm einer Turingmaschine endlich ist und nur aus endlich vielen Zeichen besteht, gibt es nur abzählbar vieler solcher Programme und also auch nur abzählbar viele berechenbare Zahlen. Da, wie man sich leicht überlegt, die Summe und das Produkt zweier berechenbarer Zahlen wieder berechenbar ist, und zudem das Inverse jeder berechenbaren Zahl wieder berechenbar ist, bilden die berechenbaren Zahlen einen Teilkörper der reellen Zahlen.

Literatur[Bearbeiten]