Berlekamp-Algorithmus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Computeralgebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Berlekamp-Algorithmus eine Methode zur Faktorisierung von Polynomen über einem endlichen Körper, die 1967 von Elwyn Berlekamp entwickelt wurde. Er ist in den meisten Computeralgebrasystemen implementiert und war der führende Faktorisierungsalgorithmus bis zur Entwicklung des Cantor-Zassenhaus-Algorithmus, einer probabilistischen Variante des Berlekamp-Algorithmus aus dem Jahre 1981.

Hintergrund[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesucht ist eine Faktorisierung von mit in irreduzible Faktoren wobei die Größe unbekannt ist. Insbesondere kann auch gelten, nämlich wenn irreduzibel ist. Dabei kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass quadratfrei ist, weil quadratfreie Polynome die Eigenschaft erfüllen und bei nicht quadratfreien Polynomen auf diese Weise bereits ein echter Teiler gefunden wird. ( bezeichnet hier die formale Ableitung nach x und den größten gemeinsamen Teiler.)

Um die zu bestimmen, bedient man sich eines leichter zu faktorisierenden Polynoms , das von geteilt wird, denn dann gilt

Da ein endlicher Körper ist, kann man in der Identität durch ersetzen und erhält .

Weil durch teilbar ist, sucht man also , die die Kongruenz erfüllen.

Man kann nun beweisen, dass alle diese Eigenvektoren einer Matrix zum Eigenwert 1 sind, wobei die gegeben sind durch die Kongruenzen:

.

Denn dann gilt:

.

Man bestimmt also alle Eigenvektoren von und erhält dann die , indem man für alle und für alle Eigenvektoren berechnet. Dabei kann man zum einen den trivialen Eigenvektor auslassen und zum anderen die Berechnungen beenden, wenn man verschiedene Faktoren gefunden hat.

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Algorithmus kann also wie folgt zusammengefasst werden:

  • Man berechnet , indem man für jeweils reduziert.
  • Man bestimmt eine Basis des Eigenraums von zum Eigenwert 1.
  • Solange noch nicht alle Faktoren von bestimmt sind, berechne für alle und für alle
.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Anwendung des Berlekamp-Algorithmus ist die Berechnung des diskreten Logarithmus über einem endlichen Körper mit Primzahl und , was eine große Bedeutung in der Public Key Cryptography hat. In einem endlichen Körper ist die schnellste Methode zur Berechnung des diskreten Logarithmus der Index-Calculus-Algorithmus, bei dem Körperelemente faktorisiert werden. Da isomorph ist zu einem Polynomring über , faktorisiert nach einem irreduziblen Polynom vom Grad , entspricht die Faktorisierung der Körperelemente in der Faktorisierung von Polynomen in einem Polynomring über , faktorisiert nach einem irreduziblen Polynom vom Grad . Diese kann dann mit dem Berlekamp-Algorithmus durchgeführt werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Atilla Pethö: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 978-3-528-06598-0, S. 183.
  • Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1, S. 239.
  • Elwyn R. Berlekamp: Factoring Polynomials Over Finite Fields. Bell System Technical Journal, Band 46, 1967, Seiten 1853–1859 bzw. in: Elwyn R. Berlekamp: Algebraic Coding Theory. Mc-Graw Hill, 1968.