Bernoullische Differentialgleichung

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Die bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

Durch die Transformation

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der bernoullischen Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Dann ist

die Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

Weiter besitzt die bernoullische Differentialgleichung für jedes trivialerweise als Lösung für .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Beispiel: Logistische Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die logistische Differentialgleichung

ist eine bernoullische Differentialgleichung mit . Löst man daher

ergibt sich

Da für alle mit

ist

die Lösung obiger Gleichung auf .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7