Bernsteinpolynom

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Die Bernsteinpolynome (nach Sergei Natanowitsch Bernstein) sind eine besondere Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Nutzen und Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von Bézierkurven und legten damit den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für heißen die reellen Polynome

(mit ) die Bernsteinpolynome vom Grad .

Durch affine Transformation (Abbildung des Intervalls auf ein beliebiges Intervall ) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome

.

Dabei bezeichnet

den Binomialkoeffizienten.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome , vom Grad :

Die Bernsteinpolynome B_{i,4}

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls haben folgende Eigenschaften:

  • Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome sind linear unabhängig und bilden eine Basis von , dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich .
  • Positivität:
    für alle .
  • Extrema: besitzt im Intervall genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle . Man erhält insbesondere:
  • Zerlegung der Eins (auch Partition der Eins):
(Ergibt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus .)
  • Symmetrie:
  • Rekursionsformel:
    , mit der Definition
    für oder
  • Gradanhebung:
  • Ableitungen:
    , mit der Definition

Approximation durch Bernsteinpolynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Funktion heißt das durch

definierte Polynom das -te Bernsteinpolynom der Funktion .

Ist eine stetige Funktion auf dem Intervall , so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome gleichmäßig gegen .

Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des schwachen Gesetzes der Großen Zahlen oder des Satzes von Korowkin durchgeführt werden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkov, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912/1913.