Beschleunigtes Bezugssystem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die kein Inertialsystem sind.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen dennoch die Lösung bestimmter Probleme vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn sie an die Bewegungen angepasst sind, die Bewegungen im beschleunigten Bezugssystem also einfach werden:

  • Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. in um das Zentrum gleichförmig rotierenden Bezugssystemen oft gut beschreiben: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann oder bewegt sich entlang einer Geraden.
  • Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt.

Die Euklidische Transformation beschreibt die Transformation der im beschleunigten Bezugssystem wahrgenommenen Größen.

Kinematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Kinematik
Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

Der Ortsvektor eines Punktes P sei im Inertialsystem K gleich . Der Koordinatenursprung eines bewegten Bezugssystems K' sei von K aus betrachtet bei . Der Ortsvektor des Punktes P in K' sei .

Im Folgenden sollen die zeitlichen Ableitungen, also Geschwindigkeit und Beschleunigung, berechnet werden. Die Basisvektoren des Inertialsystems K seien . Die Basisvektoren des bewegten Bezugssystems K' dementsprechend . Die Ortsvektoren von P in den beiden Bezugssystemen lassen sich dann komponentenweise so darstellen:

Nun wird zuerst die Zeitableitung für Vektoren, die im bewegten Bezugssystem dargestellt sind, berechnet. Da K' rotieren darf, ändern sich auch dessen Basisvektoren und müssen somit auch differenziert werden (Produktregel):

Die Länge der normierten Basisvektoren ändert sich nicht, deren Richtung kann sich aber von K aus gesehen ändern. Dem entspricht eine Rotation um die durch vorgegebene Achse mit der Winkelgeschwindigkeit . Der Zusammenhang zwischen Inertialbasis und Basis des bewegten Bezugssystems ist gegeben durch die lineare (längen- und orientierungstreue) Abbildung:

Die Komponenten der dreidimensionalen Drehmatrix sind dabei (mit Kronecker-Delta und Epsilon-Tensor )

Die schiefsymmetrische Matrix ist dabei die Erzeugende der passiven Drehung um die -Achse.

Da die Basisvektoren gedreht werden, handelt es sich um eine passive Drehung; deswegen das negative Vorzeichen in der -Matrix. Die zeitliche Ableitung der Drehmatrix lässt sich als Matrizenmultiplikation darstellen:

Dabei entspricht der Matrixdarstellung des Kreuzprodukts .

Somit lässt sich die zeitliche Ableitung der gestrichenen Basisvektoren in drei Dimensionen als Kreuzprodukt darstellen:

Wirkt eine Ableitung nur auf die gestrichen Komponenten von , so schreibe dafür die gestrichene Ableitung. Dies ist die zeitliche Änderung des Vektors , also die Geschwindigkeit , die man im bewegten Bezugssystem K' misst:

Zusammen ergibt sich also:

Somit entspricht einer Zeitableitung in K die gestrichene Zeitableitung in K' plus der Rotation von K':

Speziell für den Vektor gilt:

Um die zweite Ableitung in K zu berechnen wird die obige Relation zweimal angewandt:

Für den Punkt P mit erhält man schließlich die Geschwindigkeit und Beschleunigung:

Dynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die newtonsche Bewegungsgleichung gilt nur für Inertialsysteme. Die Absolutbeschleunigung ist proportional zur äußeren Kraft :

Einsetzen der Beschleunigung in obige Gleichung und Umstellen nach liefert:

Somit erhält man diese vier Trägheitskräfte als zusätzliche Terme in der Bewegungsgleichung bzgl. K'. Im Folgenden werden verschiedene Spezialfälle diskutiert.

Beschleunigte Translationsbewegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier gilt , so dass sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu:

Dies ist z. B. der Fall eines mit einem geradlinig bewegten Fahrzeug verbundenen Bezugssystems. Sei , also es soll keine äußere Kraft wirken. Bremst das Fahrzeug, so ist die Beschleunigung negativ (= Verzögerung) und somit . Ein im Fahrzeug sich befindlicher Körper wird also in Fahrtrichtung beschleunigt (z. B. Autofahren: „Kopfnicker“ beim kurzen starken Bremsen).

Rotierendes Bezugssystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es soll gelten, d. h. der Ursprung von K' bewegt sich gleichförmig gegenüber dem Ursprung von K:

Bezugssystem an der Erdoberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist konstant, d. h. . Hier rotiert (= Vektor vom Erdmittelpunkt zum Ursprung von K' an der Erdoberfläche) mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie K':

Stellt man bzgl. K' dar, so ergibt die zweite Zeitableitung ( ist bzgl. K' konstant):

Somit ergibt sich die Bewegungsgleichung:

Für Bewegungen, die in der Nähe der Erdoberfläche verlaufen, kann man den letzten Term vernachlässigen, da hier gilt.

Setze als Kraft die Gewichtskraft ein:

Man fasst normalerweise die Gravitationsbeschleunigung ( wirkt in radiale Richtung) und die Zentrifugalbeschleunigung ( wirkt senkrecht zur Erdachse) zusammen zu einer effektiven Schwerebeschleunigung (die Richtung folgt aus der Vektorsummenbildung). Da die Zentrifugalbeschleunigung von der geographischen Breite abhängt (an den Polen Null und am Äquator maximal), ist die effektive Schwerebeschleunigung von der geographischen Breite abhängig; die Erdoberfläche ist näherungsweise eine Äquipotentialfläche der effektiven Schwerebeschleunigung, nämliche ein Ellipsoid, das im Vergleich zur Kugel an den Polen abgeplattet ist. bestimmt die Vertikale von der Erdoberfläche, die von der radialen Richtung etwas abweicht.

Man betrachte ein mitbewegtes Koordinatensystem K' auf der Erdoberfläche, das so ausgerichtet ist, dass in Richtung Osten, in Richtung Norden und zum Zenit zeigt. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde lautet in K', wobei die geographische Breite ist,

Somit lautet die Coriolisbeschleunigung

Beispiel: Foucaultsches Pendel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für weitere Erklärung siehe Foucaultsches Pendel, hier soll explizit die Berechnung durchgeführt werden.

Man betrachte ein mathematisches Pendel auf der Erdoberfläche. Für kleine Auslenkungen (Auslenkung viel kleiner als Pendellänge) gilt die Näherung bzw. und die Pendelmasse schwingt in der --Ebene; somit kann man die Bewegung zweidimensional betrachten. Es wirkt auf die Pendelmasse die rücktreibende Kraft mit und die Corioliskraft . Die Zwangskraft der Pendelaufhängung führt dazu, dass aus der eigentlich wirkenden Gewichtskraft die rücktreibende Kraft resultiert und dass die -Komponente der Corioliskraft kompensiert wird. Die Bewegungsgleichung der Pendelmasse lautet:

Die zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung lassen sich einfach in der komplexen Darstellung lösen, wobei definiert wird.

Diese Differentialgleichung hat die allgemeine Lösung

Der Term in runden Klammern beschreibt die "normale" Schwingung des Pendels mit der leicht verschobenen Frequenz , wobei im Allgemeinen die Bahnkurven der normalen zweidimensionalen Schwingung Ellipsen sind (je nach Anfangsbedingung, ist auch die Bewegung entlang einer Gerade möglich). Diese wird von einer weiteren Schwingung überlagert, nämlich der Drehung der Schwingungsebene. Aus der Überlagerung beider Schwingungen kommen die bekannten Rosettenbahnen zustande. Mit 360°/Tag=15°/Stunde dreht sich bei einer geographischen Breite die Schwingungsebene um

auf der Nordhalbkugel ( und ) also im Uhrzeigersinn (in der Mathematik wird ein positiver Winkel im Gegenuhrzeigersinn definiert, negativer Winkel bedeutet also im Uhrzeigersinn). Für Deutschland mit ca. 50° nördlicher Breite dreht sich die Schwingungsebene um etwa -11,5° pro Stunde.

Die Konstanten sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]