Beschränkte Variation

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Beispiele für Funktionen unbeschränkter Variation
Beispiele für Funktionen beschränkter Variation

In der Analysis ist eine Funktion von beschränkter Variation (beschränkter Schwankung), wenn ihre totale Variation (totale Schwankung) endlich ist, sie also in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert. Diese Begriffe hängen eng mit der Stetigkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen zusammen.

Der Raum aller Funktionen von beschränkter Variation auf dem Gebiet wird mit bezeichnet.

Reelle Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen des Intervalls gebildet wird. Das hier angegebene hängt von ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

.

Dieses Supremum wird über alle Funktionen mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel für unbeschränkte Variation

Ein einfaches Beispiel für eine unbeschränkte Variation ist die Funktion in der Nähe von . Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten für mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird, und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

.

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Definition kann auch für komplexwertige Funktionen verwendet werden.

BV-Funktionen in mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionen von beschränkter Variation, oder -Funktionen, sind Funktionen, deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmaße sind. Genauer:

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge von . Eine Funktion ist von beschränkter Variation oder Element von , wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D.h. es existiert , so dass

gilt.

Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion kann auch als Weg im metrischen Raum aufgefasst werden. Es gilt, dass genau dann von beschränkter Variation ist, wenn ein rektifizierbarer Weg ist, also eine endliche Länge hat.

Zusammenhang mit der Maßtheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Maßtheorie sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten/komplexen Borelmaßen auf .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]