Besselsche Differentialgleichung

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Die Besselsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen oder Zylinderfunktionen.

Besselsche Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch

definiert ist, wobei eine reelle oder komplexe Zahl ist. Die Lösungen heißen Bessel-Funktionen -ter Ordnung.

Entsprechend ist der Bessel-Operator ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Er ist definiert durch

Mit ihm kann man die Besselsche Differentialgleichung kurz durch

ausdrücken.[1]

Bessel-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen erster Gattung für und
Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung für und

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in Kernreaktoren und der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern. Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ordnung muss die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen besitzen. Es gibt dementsprechend verschiedene Varianten der Besselfunktionen.

Bessel-Funktionen erster Gattung Jν[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen erster Gattung sind definiert als

,

wobei die Gammafunktion ist. Im Ursprung () sind diese Funktionen für ganzzahlige endlich.

Für nicht-ganzzahlige sind und linear unabhängige Lösungen. Für ganzzahlige gilt jedoch die Beziehung

.

In diesem Fall kann die zweite unabhängige Lösung mithilfe der Bessel-Funktion zweiter Gattung gefunden werden, die weiter unten diskutiert wird.

Integraldarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ganzzahlige kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen

Hypergeometrische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

Dieser Ausdruck hängt mit der Entwicklung der Bessel-Funktion in Abhängigkeit zur Bessel-Clifford-Funktion zusammen.

Bessel-Funktionen zweiter Gattung Yν[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist . Für nicht-ganzzahlige kann man die definieren durch

Für ganzzahlige muss man den Grenzübergang bilden

.

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der Regel von L’Hospital findet man, dass diese Funktionen eine logarithmische Singularität im Ursprung haben:

Hierbei ist die Eulersche Konstante und die harmonische Reihe.

Für alle ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung die Bessel-Funktion zweiter Gattung eine zweite, linear unabhängige Lösung.

Für ganzzahlige gilt wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung die folgende Beziehung

.

Bessel-Funktionen dritter Gattung Hν(1), Hν(2)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung , (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die Bessel-Funktionen , , und gelten die Rekursionsbeziehungen:
,
.
  • Für alle gilt .
  • Für alle gilt .

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir nehmen für die folgenden Ausdrücke an, dass reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente gelten die asymptotischen Darstellungen

Für große Argumente findet man

.

Diese Formeln sind für exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

Modifizierte Bessel-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung für und
Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Gattung für und

Die Differentialgleichung

wird durch Bessel-Funktionen mit rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für ihre Lösung normalerweise die modifizierten Bessel-Funktionen

Die Funktion ist auch als MacDonald-Funktion bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Airysche Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Funktionen und kann man eine Integraldarstellung angeben

.

Hypergeometrische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

.

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir nehmen wieder an, dass reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente findet man

.

Für große Argumente erhält man

.

Sphärische Besselfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten führt nach Separation der Variablen auf die Radialgleichung

.

Nach der Substitution

erhält man die Besselsche Differentialgleichung

.

Für die Lösung der Radialgleichung werden üblicherweise die sphärischen Bessel-Funktionen , die sphärischen Neumann-Funktionen und die sphärischen Hankel-Funktionen definiert:

.

Sowohl und als auch sind linear unabhängige Lösungen.

Es gelten die alternativen Darstellungen für

Die sphärischen Bessel- und Hankelfunktionen werden beispielsweise für die Behandlung des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik benötigt.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die sphärischen Bessel-Funktionen , , und gelten die Rekursionsbeziehungen:
.
.

Hankel-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist eine Integraltransformation, die eng mit der Fourier-Transformation verwandt ist. Der Integralkern der Hankel-Transformation ist die Bessel-Funktion erster Gattung , das heißt, der Integraloperator lautet:

.

Eine besondere Eigenschaft der Hankel-Transformation ist, dass mit ihr der Bessel-Operator in einen algebraischen Ausdruck (eine Multiplikation) überführt werden kann.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bessel-Funktionen wurden von Bessel 1824[2] ausführlich behandelt, tauchten aber auch schon vorher bei speziellen physikalischen Problemen auf zum Beispiel bei Daniel Bernoulli (Schwingung schwerer Ketten 1738), Leonhard Euler (Membranschwingung 1764), in der Himmelsmechanik bei Joseph-Louis Lagrange (1770) und Pierre-Simon Laplace und bei der Wärmeleitung bei Joseph Fourier (Wärmeausbreitung in Zylinder 1822) und Siméon Denis Poisson (1823).[3][4]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besselfunktionen werden in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt z.B.:

  • Arnold Sommerfeld Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6: Partielle Differentialgleichungen der Physik, Harri Deutsch 1992
  • John David Jackson: Classical Electrodynamics. John Wiley, New York NY 1962 (3. edition. ebenda 1999, ISBN 0-471-30932-X; deutsch: 4. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-11-018970-4).
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, 6. Auflage, Springer-Lehrbuch, 2006, ISBN 978-3-540-26035-6

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bessel-Operator. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  2. Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht, Berliner Abhandlungen, 1824, S. 1-52 (veröffentlicht 1826)
  3. Jacques Dutka On the early history of Bessel functions, Archive for History of Exact Sciences, Band 49, 1995, S. 105-134
  4. G. N. Watson Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1944, Kapitel 1 (zur Geschichte)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]